Monotonie und Symmetrie bestimmen

13.05.2010, 23:06

XiaoBao

Monotonie und Symmetrie bestimmen

Hey hey,

ich habe mal wieder ein kleines Problem zu dem ich diesmal leider wieder keine ausreichenden Quellen finden konnte..

Ich soll eine Kurvendiskussion mit maximalem Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen, lokale und globale Extremwerte, Monotonie, Wendepunkte, Symmetrie und dem Verhalten im Unendlichen machen. Ausserdem noch eine Skizze..

Die Funktion lautet: $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2+1/x \end{eqnarray*}$ , und sieht so aus:

Der Maximale Definitionsbereich ist $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R : x \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Der Wertebereich geht ist $\begin{eqnarray*} [-\infty ; \infty ] \end{eqnarray*}$ .

Es gibt eine NST bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

Die globalen Extremwerte sind $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ , und es gibt einen lokalen Extremwert bei $\begin{eqnarray*} [0.793700 ; 1,889882] \end{eqnarray*}$ . (Wir sollen die Aufgaben auf 5 Stellen hinterm Komma genau ausrechnen, ich habe das Newton-Verfahren dafür verwendet.)

Monotonie: Ja.. Bei der 1. Aufgabe, für die wir die Monotonie angeben sollten, hat mir die Definition die ich gefunden habe ausgereicht, um sagen zu können, dass sie streng monoton steigend ist. Bei dieser Aufgabe, weiss ich, dass es nicht so ist, aber ich kann nicht wirklich sagen, ob meine Antwort korrekt ist.. Erstmal die Definition die ich habe:

Zitat:

Für eine reelle monotone Funktion f gilt:
Sie hat in jedem Häufungspunkt ihres Definitionsbereichs einen linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.
Sie kann nur Sprungstellen als Unstetigkeitsstellen haben.
Die Menge der Sprungstellen in ihrem Definitionsbereich ist abzählbar, muss aber nicht notwendigerweise endlich sein.
Sie ist fast überall differenzierbar, d. h. die Menge der Stellen, an denen f nicht differenzierbar ist, bildet eine lebesguesche Nullmenge.
Eine im Intervall [a, b] definierte monotone Funktion ist dort Riemann-integrierbar.

Daraus entnehme ich, dass diese Funktion keine Monotonie hat, da sie eine Polstelle hat, und somit nicht mehr den Vorraussetzungen entspricht.

Ist das richtig? Es gibt zwar diverse Beschreibungen von (streng) monoton steigend/fallend, aber es gibt nirgends Beispiele die ich finden konnte, wo gezeigt wird, was nicht in irgend einer Weise monoton ist..
Habt ihr da vielleicht eine bessere gut nachvollziehbare Beschreibung für mich? smile

Es gibt einen Wendepunkt an der Stelle $\begin{eqnarray*} [-1 ; 0] \end{eqnarray*}$ . Es ist eine Links-Rechts-Wendestelle.

So.. Nun zur Symmetrie.. Ich kann zumindest einige Fälle ausschliessen.. Achsensymmetrie bezüglich der y-Achse, Punktsymmetrie bezüglich des Ursprungs, Achsensymmetrie bezüglich einer beliebigen Achse, können, wenn ich das richtig sehe, alle nicht sein. Kann die Funktion punktsymmetrisch sein? Die Formel für diesen Punkt wäre ja $\begin{eqnarray*} f(x_{0}-h) + f(x_{0}+h) \end{eqnarray*}$ . Wie kann ich sehen, ob eine Funktion in irgend einer Weise Symmetrisch ist, und mit welchen Schritten kann ich z.B. diesen Punkt ausrechnen?
Habt ihr auch hierfür eine gut nachvollziehbare Beschreibung für mich?

Zu guter letzt, das Verhalten im Unendlichen: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} f(x) \xrightarrow \ \infty \end{eqnarray*}$
Da fällt mir auch gerade noch eine kurze Frage zu ein.. Wenn nach dem Verhalten im Unendlichen gefragt wird, muss man da nur angeben, wie sich die Funktion im positiv, Unendlichen verhält?

Die "Skizze" habe ich ja weiter oben schon eingefügt! Augenzwinkern

Es wäre super, wenn ihr mir hier weiter helfen könnt!

MfG,

XB

13.05.2010, 23:51

jorge

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deine nullstelle ist falsch. erkennt man ja auch schon an der zeichnung oder? ;D

und bei dem verhalten im unendlichen musst du jeweils gegen + und - unendlich laufen lassen.

14.05.2010, 02:28

tigerbine

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Zitat:

Der Maximale Definitionsbereich ist $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R : x \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Der Wertebereich geht ist $\begin{eqnarray*} [-\infty ; \infty ] \end{eqnarray*}$ . Es gibt eine NST bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ .

finde den Widerspruch Augenzwinkern

14.05.2010, 07:42

Airblader

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Ich will zwar nicht allzu kleinlich sein, aber für meinen Geschmack wird hier zu lasch mit Unendlichkeiten umgegangen:

Der Wertebereich ist nicht $\begin{eqnarray*} [-\infty ; \infty ] \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} ]-\infty ; \infty [~ = ~(-\infty ; \infty ) \end{eqnarray*}$ .

Ebenso werden die globalen Randwerte im Unendlichen angenommen, korrekt, aber die Formulierung "der Extremwert liegt bei $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ " finde ich sehr grenzwertig (hihi - Wortwitz). Notfalls noch okay, kann man aber besser ausdrücken.

Jetzt zu weiteren Punkten:

Die Funktion hat nur einen lokalen Extremwert. Damit muss sie entweder in diesem Punkt symmetrisch sein, oder aber sie ist nicht symmetrisch, denn daraus würde sofort die Existenz eines weiteren Extremwerts folgen (um dir mal ein logisches Argument zu nennen).

Ganz ähnlich kannst du auch z.B. mit der Nullstelle argumentieren (sofern du dann die korrekte gefunden hast). Es gibt immer viele Wege nach Rom.

Monotonie:

Monotonie bedeutet im Grunde nur, dass die Funktion auf dem entspr. Intervall immer steigt bzw. immer fällt. Sie darf sich auch konstant verhalten (bei strenger Monotonie ist das dann wiederum verboten).

Jede konstante Fkt. ist z.B. sowohl monoton steigend als auch monoton fallend, aber in keinem Fall streng monoton.
Beispiel für eine monoton wachsende Funktion:

Beispiel für eine monoton fallende Funktion (nur für positive Argumente):

Und hier noch eine Funktion, die zwar auf Teilintervallen monoton ist, auf dem gesamten gezeigten Ausschnitt allerdings ist sie nicht monoton (eben weil sie sowohl fällt als auch steigt):

air

14.05.2010, 12:29

XiaoBao

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Aargh.. ^^

Na toll.. Ich habe den Teil meines Posts gar nicht mehr durchgelesen, weil ich wusste, dass ich richtig liege.. Ich habe mich hier natürlich verschrieben.. Meine NST ist auf dem Papier auch schon -1 gewesen, peinlich, peinlich! Dabei habe ich mir so viel Mühe gemacht, hier alles korrekt darzustellen.. :P

Die Aufgabe ist übrigens aus der Uni aus der Vorlesung Mathematik W-2 (also die 2. von 4 Mathe-VLs die wir im Vordiplom belegen müssen).

@Airblader
Danke für die Korrektur der Schreibweise! Mir fehlen dafür auch die Refferenzen. Ich habe in der Schule die Kurvendiskussionen quasi übersprungen, und in der Uni habe ich jetzt Probleme mit der richtigen Formatierung und den "leichten" Bestandteilen die nicht nochmal extra wiederholt werden.. :P

also der Wertebereich ist $\begin{eqnarray*} ] -\infty ; \infty [ = (-\infty ; \infty ) \end{eqnarray*}$ .

Ist die Formulierung "Wenn x auf unendlich zugeht, strebt f(x) auch gegen unendlich" besser? Oder was wäre am besten?

Zitat:

Die Funktion hat nur einen lokalen Extremwert. Damit muss sie entweder in diesem Punkt symmetrisch sein, oder aber sie ist nicht symmetrisch, denn daraus würde sofort die Existenz eines weiteren Extremwerts folgen (um dir mal ein logisches Argument zu nennen).

Grml.. Da habe ich in meinem Text ja schon wieder einen Fehler gemacht.. Meine Konzentrationsfähigkeit war wohl doch zu dem Zeitpunkt nicht mehr so gut wie ich gedacht habe..

Also.. die Formel die ich dort für die Punktsymmetrie einfügen wollte ist: $\begin{eqnarray*} f(x_{0}-h)+f(x_{0}+h) = 2y_{0} \end{eqnarray*}$ oder gleichwertig: $\begin{eqnarray*} f(x_{0} + h)-y_{0} = y_{0}-f(x_{0}-h) \end{eqnarray*}$ .
Ist h hier einfach ein beliebiger Wert? Und muss ich h zu $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ addieren bzw. davon subtrahieren, und mit diesem neuen Wert für x dann f berechnen, oder muss ich f von $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ berechnen und dazu dann h addieren/subtrahieren?

Zitat:

Ganz ähnlich kannst du auch z.B. mit der Nullstelle argumentieren

Was meinst du damit? Wenn es nur eine Nullstelle gibt, kann die Funktion nur an dieser Stelle Punktsynchron sein? Oder dann ist sie nicht Synchron? Ich verstehe da glaube ich nicht wirklich was du da meinst bzw. welche Regel ich hier vergesse..

Bei meiner Funktion kann ich sagen, dass sie in keiner Weise symmetrisch ist oder?

Zur Monotonie:
Aus deinen Beispielen entnehme ich, dass meine Funktion zwar auch auf Teilintervallen monoton ist, aber wenn in meiner Aufgabenstellung nur steht, dass ich eine Kurvendiskussion durchführen soll, und der Stichpunkt "Monotonie" der einzige Anhaltspunkt ist, dass ich auch diese Angeben soll, muss ich dann schreiben, dass meine Funktion für $\begin{eqnarray*} f(x), x < 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x), 0 < x < 0,793700 \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend, und für $\begin{eqnarray*} f(x), x > 0,793700 \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend ist? Oder soll ich schreiben, dass sie als Ganzes gesehen, nicht monoton ist?

Vielen Dank nochmal für die schon gegebenen Antworten!

14.05.2010, 13:19

tigerbine

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Zum Schulwissen nachholen.

Zitat:

ich habe mal wieder ein kleines Problem zu dem ich diesmal leider wieder keine ausreichenden Quellen finden konnte..

[Artikel] Kurvendiskussion

14.05.2010, 14:23

Airblader

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Habe gerade nicht viel Zeit, daher nur recht kurz.

Zur Nullstelle:
Da hatte ich einen kleinen Denkfehler. Bei allg. Punktsymmetrie kannst du nicht über die Nullstelle argumentieren (z.B. y=x hat nur eine Nullstelle und ist punktsymmetrisch).

Bei den Extremwerten funktioniert es aber. Hat man einen Extremwert und ist die Funktion zu einem anderen Punkt oder einer Achse, die nicht durch den EW geht symmetrisch, so muss es einen weiteren Extremwert geben.

Deine Antwort zur Monotonie stimmt. Was genau nun gemeint ist, kann unterschiedlich ausgelegt werden. Die exaktere Antwort ist im Zweifel vorzuziehen.

air

14.05.2010, 17:57

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} f(x) = x^2+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

Wie sehen denn die beiden Summanden aus? x² ist symmetrisch zur y-Achse und 1/x ist symmetrisch zum Ursprung. Die Summe kann daher keins von beiden sein.

Das schließt so noch nicht aus, dass es nicht eine andere Symmetrieachse gibt. Was muss dann gelten?

$\begin{eqnarray*} f(a-x) \, = \, f(a+x) \end{eqnarray*}$

Dass führt auf:

$\begin{eqnarray*} (a-x)^2+\frac{1}{a-x} = (a+x)^2+\frac{1}{a+x} \end{eqnarray*}$

Nun schauen wir und die Definitionsmenge von f an. Damit kann a nur gleich 0 sein und das hatten wir schon ausgeschlossen. Ähnlich vorgehen für die Punktsymmetrie.

15.05.2010, 00:38

XiaoBao

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Ok, also: $\begin{eqnarray*} f(x_{0} + h)-y_{0} = y_{0}-f(x_{0}-h) \end{eqnarray*}$ ist dann bei diesem Beispiel $\begin{eqnarray*} (x_{0} + h)^2 + \frac{1}{(x_{0} + h)} -y_{0} = y_{0}-(x_{0} - h)^2 + \frac{1}{(x_{0} - h)} \end{eqnarray*}$ .

(Danke für deine Signatur übrigens, da ist mir gerade erst aufgefallen, dass ich bei LaTeX für die Brüche eine andere Formatierung verwenden sollte.. :P )

Soweit so gut.. $\begin{eqnarray*} y_{0} = 1,889882 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_{0} = 0,793700 \end{eqnarray*}$ .

Was ist mit h? Kann ich die Formel so umstellen: $\begin{eqnarray*} h = \frac{y_{0} - x_{0}}{(2\cdot x_{0})} \end{eqnarray*}$ und die Werte des Extrempunkts einsetzen und danach den errechneten h-Wert in die obige Formel einsetzen, um zu sehen, ob die Gleichung zutrifft oder eine Ungleichung ist? Oder was ist hier gefordert?

Wenn ich erstmal auf diese Weise h errechne, vorausgesetzt ich habe bei der Umformung keinen Fehler gemacht, kommt $\begin{eqnarray*} h = x_{0} = 0,79370 \end{eqnarray*}$ raus. An der 6. Stelle hinter dem Komma gibt es eine geringe Abweichung, die ich aber auf Grund von Rundungsfehlern vermute.

Wenn dies die richtige Methode ist, um h zu ermitteln, dann kann ich eine Punktsymmetrie auch ausschliessen, da so $\begin{eqnarray*} f(c \cdot x_{0})-y_{0} = y_{0}-f(0) \end{eqnarray*}$ gerechnet werden müsste, und 0 ist undefiniert. (Oder kommt hier die Abweichung von 0,000001 zum Zug? Aber selbst dann wäre es eine sehr eindeutige Ungleichung..)

glg,

XB

15.05.2010, 00:45

tigerbine

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Zitat:

Original von XiaoBao

Soweit so gut.. $\begin{eqnarray*} y_{0} = 1,889882 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_{0} = 0,793700 \end{eqnarray*}$ .

Wie kommst du darauf?

15.05.2010, 01:39

XiaoBao

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laut airblader kann der symmetriepunkt nur an der stelle der extremstelle liegen?! oder habe ich das irgendwie ausser kontext genommen?

15.05.2010, 01:49

tigerbine

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Ich kann das nun nicht alles lesen, aber ein einfaches Gegenbeispiel

Symmetriepunkt ist der Ursprung.

15.05.2010, 13:13

XiaoBao

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Zitat:

Sorry, ich hatte das Zitat nicht ausreichend beschrieben.

Wenn die Funktion nicht so offensichtlich wie bei deinem Gegenbeispiel symmetrisch sind, bzw, sich die beiden Graphen der verschiedenen Intervalle wie bei meiner Funktion gar nicht ähneln, was muss ich dann bei der Frage nach Symmetrie machen? Muss ich beweisen, dass keine Symmetrie besteht, und wie mache ich das? Oder reicht es, wenn ich schreibe, dass eben keine Symmetrie existiert?

15.05.2010, 15:28

tigerbine

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Das Zitat beschreibt doch was ganz anderes.

naja, wenn du das Symmetrieverhalten untersuchen sollst, musst du auch begründete Aussagen treffen. Ich habe es dir doch vorgemacht, wie man Achsensymmetrie widerlegt. nimm nun eben an, es gebe einen Symmetriepunkt. Warum scheitert das. Benutzt den gleichen Trick Defmenge! und das was ich ganz am Anfang gesagt habe.

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