Warum ist der Gradient die Richtung des stärksten Anstiegs?

14.05.2010, 12:15

MrPink86

Warum ist der Gradient die Richtung des stärksten Anstiegs?

Hallo Leute,

ja wie der Betreff schon sagt: Wieso ist der Gradient die Richtung des stärksten Anstiegs? Ich mein, lesen kann ich es überall und rechnen wohl auch.

Ich möchte aber gern verstehen wieso der Gradient die Richtung des stärksten Anstiegs ist! Kann mir das jemand anschaulich erklären?

14.05.2010, 13:32

Knarzer

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RE: Warum ist der Gradient die Richtung des stärksten Anstiegs?
Naja ich weiss nicht ob ich das erklären kann, aber der Gradient ist ja der Vektor der aus den partiellen Ableitungen einer Funkrion besteht. Die Ableitung einer Funktion beschreibt den Anstieg der an dem Punkt der Ableitung angelegten Tangente. Das heißt wenn du in x-Richtung ableitest bekommst du den Anstieg der Tangente (oder genähert eben der abzuleitenden Funktion, da man ja mit der Tangente den Anstieg der Funktion abschätzen möchte). Wenn du das Gleiche in y-Richtung machst bekommst du den Anstieg der Tangente (Funktion) in y-Richtung. Wenn du jetzt einen Vektor (Pfeil) in Richtung der Ableitungen von x bzw y machst dann wird der in Richtung der Anstiege von x bzw y zeigen. Und wenn du einen Vektor in Richtung x und gleichzeitig y bildest (Gradient) wird der
zwangsläufig da hinzeigen, wo der Anstieg in Richtung x-Komponente und y-Komponente am größten ist. Ich hoffe das war halbwegs klar.

14.05.2010, 16:09

Ehos

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Stell' dir eine Temperaturverteilung T(x,y,z) im Raum vor und eine Fliege, die am Raumpunkt $\begin{eqnarray*} \vec x_0 \end{eqnarray*}$ sitzt und zum "wärmsten Punkt" fliegen will. Zuerst wählt sich die Fliege willkürlich irgend eine beliebige Richtung $\begin{eqnarray*} \vec n=(n_1|n_2|n_3) \end{eqnarray*}$ mit dem Betrag $\begin{eqnarray*} |\vec n|=1 \end{eqnarray*}$ . Nun berechnet die Fliege die "gefühlte Temperaturzunahme pro Zeit " beim Flug in diese Richtung. Das heißt, die Fliege berechnet die 1.Ableitung von $\begin{eqnarray*} T(\vec x) \end{eqnarray*}$ nach der Zeit, wobei das Argument der Temperatur die Gestalt einer Gerade hat, also $\begin{eqnarray*} \vec x=\vec x_0+\vec nt \end{eqnarray*}$ hat. Mittels Kettenregel bekommt die Fliege folgendes Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \frac {dT(\overbrace{\vec x_0+\vec nt}^{\vec x})}{dt}=\frac{\partial T}{\partial x}\frac{\partial x}{dt}+\frac{\partial T}{\partial y}\frac{\partial y}{dt}+\frac{\partial T}{\partial z}\frac{\partial z}{dt}=\frac{\partial T}{\partial x}n_1+\frac{\partial T}{\partial y}n_2+\frac{\partial T}{\partial z}n_3=\nabla T \cdot \vec n=\nabla T \cdot \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$

Im letzten Schritt ist alpha der Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} \nabla T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ . Offenbar wird die rechte Seite maximal, wenn $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ . Mit anderen Worten, die Ableitung wird maximal, wenn die Fliege in Richtung des Gradienten fliegt.

15.05.2010, 01:31

MrPink86

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Danke euch beiden

Ich glaub ich habs,

also ich hab die Ableitungen, den Gradienten.

Und der Anstieg ist natürlich dann am größten, wenn ich in Richtung des Gradienten gehe, da dort der Winkel zwischen Gradienten und Vektor wo ich hingeh, 0 wird und deshalb cos 1 -> max wird und somit auch das Produkt davor, in dieser Formel da....(müsst ich jetzt nochma nachgucken)

Falls es morgen doch noch unklar ist frag ich nochma.

15.05.2010, 10:44

Evelyn89

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Zitat:

Original von Ehos
Stell' dir eine Temperaturverteilung T(x,y,z) im Raum vor und eine Fliege, die am Raumpunkt $\begin{eqnarray*} \vec x_0 \end{eqnarray*}$ sitzt und zum "wärmsten Punkt" fliegen will. Zuerst wählt sich die Fliege willkürlich irgend eine beliebige Richtung $\begin{eqnarray*} \vec n=(n_1|n_2|n_3) \end{eqnarray*}$ mit dem Betrag $\begin{eqnarray*} |\vec n|=1 \end{eqnarray*}$ . Nun berechnet die Fliege die "gefühlte Temperaturzunahme pro Zeit " beim Flug in diese Richtung. Das heißt, die Fliege berechnet die 1.Ableitung von $\begin{eqnarray*} T(\vec x) \end{eqnarray*}$ nach der Zeit, wobei das Argument der Temperatur die Gestalt einer Gerade hat, also $\begin{eqnarray*} \vec x=\vec x_0+\vec nt \end{eqnarray*}$ hat. Mittels Kettenregel bekommt die Fliege folgendes Ergebnis

$\begin{eqnarray*} \frac {dT(\overbrace{\vec x_0+\vec nt}^{\vec x})}{dt}=\frac{\partial T}{\partial x}\frac{\partial x}{dt}+\frac{\partial T}{\partial y}\frac{\partial y}{dt}+\frac{\partial T}{\partial z}\frac{\partial z}{dt}=\frac{\partial T}{\partial x}n_1+\frac{\partial T}{\partial y}n_2+\frac{\partial T}{\partial z}n_3=\nabla T \cdot \vec n=\nabla T \cdot \cos(\alpha) \end{eqnarray*}$

Im letzten Schritt ist alpha der Winkel zwischen $\begin{eqnarray*} \nabla T \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec n \end{eqnarray*}$ . Offenbar wird die rechte Seite maximal, wenn $\begin{eqnarray*} \cos(\alpha)=1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ . Mit anderen Worten, die Ableitung wird maximal, wenn die Fliege in Richtung des Gradienten fliegt.

tolles beispiel! hat mir auch sehr geholfen! danke!! Freude

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