Extrema

14.05.2010, 13:28

Manuel20

Extrema

Guten Tag, liebe Matheboard'ler

Ich habe folgende Aufgabe:
Bestimme die Extrema der Funktion f(x,y,z) = x + y - z auf der Sphaehre $\begin{eqnarray*} S^2 = \{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1 \} \end{eqnarray*}$

Ich habe das wie folgt gemacht, bin aber nicht sicher, ob die Schritte stimmen, da ich nur ein Extremum rausbekommen habe:

Mit Hilfe der Lagrange-Funktion erhaelt man: $\begin{eqnarray*} F(x,y,z) = (x+y-z) + \lambda (x^2 + y^2 + z^2 - 1) \end{eqnarray*}$
(Lambda ist eine Zahl aus R, ein sogen. Lagrange-Multiplikator)

Bedingungen fuer kritischer Punkt:
(1) $\begin{eqnarray*} 1 + 2 \lambda x = 0 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} 1 + 2 \lambda y = 0 \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} -1 + 2 \lambda z = 0 \end{eqnarray*}$
(4) $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 + z^2 -1= 0 \end{eqnarray*}$

Durch zusammenfassen ( (1)*x, (2)*y, (3)*z und Addition in Kombination mit der (4) ) gibt:
$\begin{eqnarray*} 3 + 2 \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

Nun kann man -3 fuer 2*Lambda einsetzen und erhaelt:

1(-3x)=0
1(-3y)=0
-1(-3z)=0

Der kritische Punkt waere also (0,0,0).
Meine Fragen sind nun: Stimmt das Vorgehen ueberhaupt, und stimmt der kritische Punkt? Eigentlich haette ich mit mehreren gerechnet - gibt es also wirklich nur diesen einzigen?

Liebe Gruesse,
Manu

14.05.2010, 17:40

Abakus

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RE: Extrema
Hallo!

Dein kritischer Punkt liegt nicht auf der Sphäre, was auf einen Rechenfehler schließen lässt. Was genau hast du im einzelnen gerechnet?

Grüße Abakus smile

14.05.2010, 23:50

Manuel20

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RE: Extrema
Alle Berechnungen, die ich gemacht habe, habe ich hier gepostet.
Ich vermute, dass der Fehler evtl bei der Zusammenfassung liegen könnte..wäre jemand so lieb, und könnte sich meine Berechnungen mal durchschauen?

Besten Dank,
Manu

15.05.2010, 00:20

Abakus

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RE: Extrema

Zitat:

Original von Manuel20
Ich vermute, dass der Fehler evtl bei der Zusammenfassung liegen könnte..wäre jemand so lieb, und könnte sich meine Berechnungen mal durchschauen?

Schreib deine Zusammenfassung doch mal explizit hin (dann sehen wir es). Und ja, ich denke, da liegt ein möglicher Fehler.

Grüße Abakus smile

15.05.2010, 02:59

Manuel20

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RE: Extrema
Also:

Die Lagrange-Funktion besagt
$\begin{eqnarray*} F(x,y,z) = (x+y-z) + \lambda (x^2 + y^2 + z^2 - 1) \end{eqnarray*}$
(Lambda ist eine Zahl aus R, ein sogen. Lagrange-Multiplikator)

Die Bedingungen für kritische Punkte sind:
(1) $\begin{eqnarray*} 1 + 2 \lambda x = 0 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} 1 + 2 \lambda y = 0 \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} -1 + 2 \lambda z = 0 \end{eqnarray*}$
(4) $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 + z^2 -1= 0 \end{eqnarray*}$

Nun folgt das Zusammenfassen: ( (1)*x, (2)*y, (3)*z und Addition in Kombination mit der (4) ). Das heisst:
(1*) $\begin{eqnarray*} x + 2 \lambda x^2 = 0 \end{eqnarray*}$
(2*) $\begin{eqnarray*} y + 2 \lambda y^2 = 0 \end{eqnarray*}$
(3*) $\begin{eqnarray*} -z + 2 \lambda z^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Ah - jetzt würde ich bereits was ändern:
Die Addition in Kombination mit der (4) würde nun so ausschauen:

$\begin{eqnarray*} x \cdot y\cdot -z + 2 \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

In diesem Fall würde man für 2*Lambda = -(x*y*(-z)) setzen:

y*(-z)*(1-x^2) = 0
x*(-z)*(1-y^2) = 0
x*y*(1-(-z)^2) = 0

..stimmt das nun (soweit)?
..wen nein: Was muss ich anders (und vor allem: wie) machen?

Lieber Gruss und gute Nacht,
Manu

15.05.2010, 15:29

Abakus

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RE: Extrema

Zitat:

Original von Manuel20
Die Bedingungen für kritische Punkte sind:
(1) $\begin{eqnarray*} 1 + 2 \lambda x = 0 \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} 1 + 2 \lambda y = 0 \end{eqnarray*}$
(3) $\begin{eqnarray*} -1 + 2 \lambda z = 0 \end{eqnarray*}$
(4) $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 + z^2 -1= 0 \end{eqnarray*}$

Die Addition in Kombination mit der (4) würde nun so ausschauen:

$\begin{eqnarray*} x \cdot y\cdot -z + 2 \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

Wenn du den einen Malpunkt noch wegmachst und den anderen in ein "+" verwandelst, ok. Wenn du allerdings eine Gleichung mit x multiplizierst, um trickreich etwas aufzulösen, musst du auch immer den Fall x=0 betrachten.

Ich würde eher gleich auflösen:

$\begin{eqnarray*} x = y = \frac{-1}{2 \lambda} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z = \frac{1}{2 \lambda} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du durch Einsetzen das Lambda bestimmen, du erhälst 2 Werte dafür.

Grüße Abakus smile

15.05.2010, 18:06

Manuel20

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RE: Extrema
Ah, besten Dank!

für Lambda habe ich also:
$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{\pm \sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Setze ich das nun in (1), (2), (3) ein, erhalte ich die kritischen Punkte:
$\begin{eqnarray*} ( \sqrt{3} +1, \sqrt{3} + 1, \sqrt{3} -1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( 1 - \sqrt{3} , 1- \sqrt{3} , - \sqrt{3} -1 ) \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt so, oder?

16.05.2010, 11:34

Abakus

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RE: Extrema

Zitat:

Original von Manuel20
für Lambda habe ich also:
$\begin{eqnarray*} \lambda = \frac{\pm \sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

Ja, korrekt.

Zitat:

Setze ich das nun in (1), (2), (3) ein, erhalte ich die kritischen Punkte:
$\begin{eqnarray*} ( \sqrt{3} +1, \sqrt{3} + 1, \sqrt{3} -1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( 1 - \sqrt{3} , 1- \sqrt{3} , - \sqrt{3} -1 ) \end{eqnarray*}$

Nein, Rechenfehler.

Grüße Abakus smile

16.05.2010, 15:06

Manuel20

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RE: Extrema
Ups, ja, stimmt:

Setze ich in (1), (2), (3) ein, erhalte ich die kritischen Punkte:
$\begin{eqnarray*} ( - \frac{ \sqrt{3}}{3} , - \frac{ \sqrt{3}}{3} , \frac{ \sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( \frac{ \sqrt{3}}{3} , \frac{ \sqrt{3}}{3} , - \frac{ \sqrt{3}}{3} ) \end{eqnarray*}$

Man definiere nun:
$\begin{eqnarray*} M:= \{ ( - \frac{ \sqrt{3}}{3} , - \frac{ \sqrt{3}}{3} , \frac{ \sqrt{3}}{3} ) \end{eqnarray*}$ : "-" kommt eine gerade Anzahl mal vor}
$\begin{eqnarray*} m:= \{ ( \frac{ \sqrt{3}}{3} , \frac{ \sqrt{3}}{3} , - \frac{ \sqrt{3}}{3} ) \end{eqnarray*}$ : "-" kommt eine ungerade Anzahl mal vor}

Daraus folgt nun:
$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = \frac{ \sqrt{3}}{3} \ \forall (x,y,z) \in M \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = - \frac{ \sqrt{3}}{3} \ \forall(x,y,z) \in m \end{eqnarray*}$

Das heisst also:
$\begin{eqnarray*} \frac{ -\sqrt{3}}{3} \leq f(x,y,z) \leq \frac{ \sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}$

Somit wäre das
Minimum: $\begin{eqnarray*} - \frac{ \sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}$
und
Maximum: $\begin{eqnarray*} \frac{ \sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}$

Korrekt so?

16.05.2010, 15:19

Abakus

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RE: Extrema

Zitat:

Original von Manuel20
Setze ich in (1), (2), (3) ein, erhalte ich die kritischen Punkte:
$\begin{eqnarray*} ( - \frac{ \sqrt{3}}{3} , - \frac{ \sqrt{3}}{3} , \frac{ \sqrt{3}}{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ( \frac{ \sqrt{3}}{3} , \frac{ \sqrt{3}}{3} , - \frac{ \sqrt{3}}{3} ) \end{eqnarray*}$

Soweit richtig, jetzt hast du die kritischen Punkte.

Deine Definition von m und M macht wenig Sinn, es sind nur 2 Punkte da, die du untersuchen musst.

Kritische Punkte sind nicht notwendig Extrema, du musst diese Punkte erst untersuchen, was sie für Eigenschaften haben. Ansonsten sind auch (lokale) Extrema nicht unbedingt absolute Extrema. Da fehlt also noch einiges.

Grüße Abakus smile

16.05.2010, 16:51

Manuel20

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RE: Extrema
Stimmt ja, man muss nun prüfen, ob die zweiten Ableitungen grösser / kleiner als 0 sind, damit es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.

Meine Frage ist nun: Wie macht man die zweite Ableitung von f(x,y,z)? ..die drei "Variablen" x, y, z sind es, die mir Mühe bereiten..

16.05.2010, 18:00

Abakus

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RE: Extrema

Zitat:

Original von Manuel20
Stimmt ja, man muss nun prüfen, ob die zweiten Ableitungen grösser / kleiner als 0 sind, damit es sich um ein Maximum oder Minimum handelt.

Fraglich, ob dir die helfen: du hast ein Optimierungsproblem unter Nebenbedingungen. Natürlich kannst du schauen, ob deine gefundenen Punkte sogar Extrema der Zielfunktion sind, das muss aber nicht so sein.

Du musst also schon untersuchen, wo deine Punkte liegen: im Inneren oder auf dem Rand des durch die Nebenbedingungen definierten Kontinuums?

Die Sache mit den zweiten Ableitungen liest du dir besser erstmal irgendwo durch, das würde hier länglicher werden.

Grüße Abakus smile

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