Wahrscheinlichkeitsverteilung

14.05.2010, 14:52

Crackbrained

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Meine Frage:
In einem Ort wird pro Jahr ca. 400-mal die Feuerwehr alarmiert.
a) Untersuchen Sie, an ungefähr wie vielen Tagen des Jahres 0,1,2, mehr als 2 Alarme erfolgen.
b) In einem anderem ort vergen pro Jahr 100 Tage, an denen kein Alarm erfolgt. Schätzen Sie hieraus, wie oft die Feuerwehr dieses Ortes im Lauf eines Jahres alarmiert wird.

Meine Ideen:
a)Es basiert ja auf dem Kugel-Fächermodell, die 400 sind die "Kugeln" und die Tage des Jahres die "Fächer". Mit der Formel kann ich ja die W-keit berechnen, nciht allzu schwirieg P = 1/F (sprich 1/400). Muss ich jetz mit der Bernoulli formel witerrechner und die summe bilden? $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p^K * q^(k-1) \end{eqnarray*}$
b) Brauch ich da das Gegenereignis? Also ist an 265 Tagen ein Alarm. Aber es können ja auch mehrer Alarme am Tag eingehen, wie komm ich da drauf?

14.05.2010, 15:37

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In beiden Aufgabenstellungen betrachtet man am besten die Zufallsgröße

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ... Anzahl Alarme an einem Tag .

a) $\begin{eqnarray*} X\sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ ist prinzipiell Ok, aber nicht mit deinem Vorschlag für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ . Wenn schon, dann $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{365} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=400 \end{eqnarray*}$ . Zweckmäßiger wäre allerdings gleich die Poissonverteilung $\begin{eqnarray*} X \sim \operatorname{Poisson}(\mu) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu = \frac{400}{365} \end{eqnarray*}$ zu verwenden.

b) Die angegebene Tagesanzahl entspricht einer Schätzung $\begin{eqnarray*} \frac{100}{365} \end{eqnarray*}$ für die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X=0) \end{eqnarray*}$ . Daraus lässt sich der Poissonverteilungsparameter $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ (siehe a)) schätzen.

14.05.2010, 16:16

Crackbrained

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Ich weiß nicht ob du dasselbe meinst, ich hab nun einfach mal im Buch geblättert.
P(O, kein Alarm) = $\begin{eqnarray*} \frac{364}{365}^{400} \end{eqnarray*}$
P(1) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 400 \\ 1 \end{pmatrix} \left(\cdot \frac{1}{365}\right) ^1 \cdot \left(\frac{364}{365} \right) ^{399} \end{eqnarray*}$
... für P(2) dann etwas in der Formel ändern.
P(merh als 2) = 1 - P = 1 - (p(0) + p(1) + p(2).

Ich denke das das für Teil a richtig ist?!?!

Aber b) versteh ich gar nicht -.-*

14.05.2010, 16:19

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Naja, das wäre ja genau die Rechnung für

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} X\sim B(n,p) \end{eqnarray*}$ [...] Wenn schon, dann $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{365} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=400 \end{eqnarray*}$ .

Na dann nimm meinetwegen die Binomialverteilung, in b) ist dann $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eben zunächst unbekannt und mit meinem o.g. Vorschlag schätzbar.

14.05.2010, 16:23

Crackbrained

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Besten Dank smile

, ich werds mit B dann mal versuchen. Nur noch ein kleines formales Problem, mein Rechner kommt nicht mit den hohen Potenzen klar, gibt es da irgendeine Seite im Netz um das zu Berechnen?

14.05.2010, 16:29

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Zitat:

Original von Crackbrained
mein Rechner kommt nicht mit den hohen Potenzen klar

Kann ich mir nicht vorstellen - meinst du nicht eher den Binomialkoeffizienten, und zwar, wenn du ihn über Fakultäten berechnest? Da gibt es ja auch andere Wege, den zu berechnen - und diese Probleme wären sowieso vermeidbar, wenn man gleich mit der Poissonverteilung rechnen würde, was (ich wiederhole mich) hier sowieso deutlich vernünftiger wäre.

14.05.2010, 16:37

Crackbrained

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Also bisher hatten wir dieses Modell noch gar nicht und kennen tu ich das auch nicht Augenzwinkern

15.05.2010, 14:36

Crackbrained

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{365} \begin{pmatrix} 400 \\ k\end{pmatrix} \cdot \left(\frac{265}{365}\right)^k \cdot \left(\frac{100}{365} \right)^{400-k} \end{eqnarray*}$
wäre das dann meine bernoullie kette?

15.05.2010, 15:18

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Was soll man zu solchen lose in der Luft hängenden Termen sagen? Man kann nicht mal sagen, dass sie "falsch" sind, wenn nicht klar ist, zu welchem Sachverhalt sie gehören. unglücklich

15.05.2010, 18:03

Crackbrained

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Naja ich dachte das das die Bernoulli kette ist, 100/365 kein einsatz und 265/365 die einsätze.

15.05.2010, 19:14

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Ich rede von etwas anderem: Den Term

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{365} \begin{pmatrix} 400 \\ k\end{pmatrix} \cdot \left(\frac{265}{365}\right)^k \cdot \left(\frac{100}{365} \right)^{400-k} \end{eqnarray*}$

kann man als Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(1\leq Y\leq 365) \end{eqnarray*}$ einer Zufallsgröße $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ deuten, die binomialverteilt $\begin{eqnarray*} Y\sim B\left( 400,\frac{265}{365} \right) \end{eqnarray*}$ ist. Gut - aber inwiefern meinst du, hat das irgend etwas mit der Aufgabe zu tun? verwirrt

Man kann Fehler machen, zweifellos. Aber man sollte schon erklären, was man gerade beabsichtigt und nicht einfach nur irgendwelche Terme hinwerfen, um sie dann von den Helfern forensisch analysieren zu lassen (was ich gerade eben gemacht habe) - das ist wesentlich schwieriger und aufreibender für einen Helfer, als die richtige Lösung zu präsentieren. unglücklich

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Was b) betrifft, habe ich ja oben einen Ansatz gegeben:

Zitat:

Original von Arthur Dent
b) Die angegebene Tagesanzahl entspricht einer Schätzung $\begin{eqnarray*} \frac{100}{365} \end{eqnarray*}$ für die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P(X=0) \end{eqnarray*}$ . Daraus lässt sich der Poissonverteilungsparameter $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ (siehe a)) schätzen.

Ok, das mit der Poissonverteilung hast du abgelehnt. Aber wenn du stattdessen $\begin{eqnarray*} X\sim B\left( n, \frac{1}{365} \right) \end{eqnarray*}$ ansetzt, dann kannst du über die Gleichsetzung

$\begin{eqnarray*} \frac{100}{365} \stackrel{!}{=} P(X=0) = \left( 1-\frac{1}{365} \right)^n \end{eqnarray*}$

ein passendes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ schätzen.

18.05.2010, 14:50

Crackbrained

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Besten dank, beim nächsten mal weiß ich dann besser bescheid! Aber nochmal zum Verständnis. Ich setz nun die Wahrscheinlichkeit davon das an 100 tagen kein Einsatz ist $\begin{eqnarray*} \frac{100}{365} \end{eqnarray*}$ , mit der Wahrscheinlichkeit bzw. Berechnung davon für einen Einsatz an einem Tag? $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{365} \right)^n \end{eqnarray*}$ gleich?

Dann muss ich ja nur noch von beiden Termen den log bilden und kann dann n berechnen bzw. schätzen?

23.11.2011, 16:51

EdM

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Ich habe auch eine Frage zu der gleichen Aufgabe. Wie man einfach zur Lösung kommt ist mir klar, jedoch hätte ich gerne erläutert, wie man zu diesem Lösungsweg kommt:
7a)
n = 400, p=1/365

$\begin{eqnarray*} P(X=0)=\begin{pmatrix} 400 \\ 0 \end{pmatrix} \left(\frac{1}{365}\right) ^{0} \left(\frac{364}{365}\right) ^{400}= 0,3337 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=1)=P(X=0)\frac{400}{1}\frac{1}{364}=0,3667 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=2)=P(X=1)\frac{399}{2}\frac{1}{364}=0,2010 \end{eqnarray*}$

Also die Berechnung von P(X=0) ist mir klar aber die anderen beiden verstehe ich nicht <.<
wäre nett wenn mir das jemand erklären kann.

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