Normalteiler von S3

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AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler von S3
Meine Frage:
Hallo
Meine Aufgabe ist folgende:
In dieser Aufgabe betrachten wir die sechselementige Gruppe G = S3.
(i) Geben Sie alle Elemente von S3 und deren Ordnungen an!
(ii) Geben Sie alle Untergruppen U von G an!
(iii) Welche dieser Untergruppen sind Normalteiler?

Meine Ideen:
i) S3= {(123),(132),(213),(231),(321),(312)}
erz(123)={(123)}, ord(123)=1
erz(132)={(123),(132)}, ord(132)=2
erz(213)={(213),(123)}, ord(213)=2
usw.

ii) Die Untergruppen sind doch jetzt die erzeugnisse von jedem Element plus die Gruppe S3 selber oder? Ich hoffe soweit ist das ganze richtig.

iii) Meine Überlegugn ist jetzt folgende: das neutrale Element (123) is ja per Definition Element jeder Untergruppe. d.h.: (123)*G=G*(123)=G.
Jedes andere Element einer Untergruppe ist ja auch Element aus G und wegen der Abgeschlossenheit von Gruppen müsste ja gelten: u*G G und G*u G, also insbesondere von (123)*G u aus einer beliebigen Untergruppe.
Wäre dies der Fall wären ja automatisch alle Untergruppen Normalteiler. Da für alle g*U=U*g=G gelten müsste. Dann würde mir aber keine Untergruppe einfallen die nicht Normalteiler wäre.
Schonmal danke für die Antworten.
Mathama Auf diesen Beitrag antworten »

imo sind (i) und (ii) korrekt gelöst.

Bei (iii) solltest du dir nochmal die zwei elementigen Unteregruppen anschauen,
ob sie wirklich die gleichen Linksnebenklassen wie Rechtsnebenklassen haben.
AirCozzy Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe das konkrete Beispiel g*U2=U2*g ausprobiert und die Gleichung stimmt, was ja auch logisch ist:
alle u aus U2 sind auch in G, d.h. u*G ist eine Teilmenge von G (wegen der Abgeschlossenheit) und da auch das neutrale Element (123) in U2 enthalten ist gilt: (123)*G ist Teilmenge von u*G. Da (123)*G=G ist, folgt daraus dass auch u*g=G ist.
Somit wäre aber jedes Ui=G und somit auch Normalteiler. Stimmt das so? Wenn ja kann mir bitte jemand ein Beispiel geben für eine Untergruppe die kein Normalteiler ist?
Mathama Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat von dir:

iii) Meine Überlegugn ist jetzt folgende: das neutrale Element (123) is ja per Definition Element jeder Untergruppe. d.h.: (123)*G=G*(123)=G.
Jedes andere Element einer Untergruppe ist ja auch Element aus G und wegen der Abgeschlossenheit von Gruppen müsste ja gelten: u*G G und G*u G, also insbesondere von (123)*G u aus einer beliebigen Untergruppe.
Wäre dies der Fall wären ja automatisch alle Untergruppen Normalteiler. Da für alle g*U=U*g=G gelten müsste. Dann würde mir aber keine Untergruppe einfallen die nicht Normalteiler wäre.
Schonmal danke für die Antworten.

Wenn das gelten würde, dann wäre jede Untergruppe von jeder Gruppe auf der ganzen Welt ein Normalteiler sein, also ist das schonmal falsch.

Mehr dazu gleich muss weg unglücklich
Mathama Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt mach es halt mal ohne deine Überlegung und erstelle alle Nebenklassen.

Nimm deine Untergruppe und Verknüpfe sie mit jedem Element aus G.

u°G

3 Linksnebenklassen müsstest du bekommen.
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