infinity - Summenvereinfachung

14.05.2010, 15:34

michael07

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infinity - Summenvereinfachung

Hallo

könntet ihr mir sagen wie ich

$\begin{eqnarray*} s = \sum\limits_{y=0}^a \sqrt{\frac{r^2}{a^2}+\frac{(a\cdot d+2\cdot a\cdot r-2\cdot r\cdot y)^2)\cdot sin^2(180/(n\cdot y)}{a^2}}, a=\infty \end{eqnarray*}$

vereinfachen kann also zu einer richtigen Formel

ich habe es über Excel gemacht und durch "wolframalpha" geprüft aufwendig mit Excel bei
d = 1,6
r= 0,2
n= 4
a = 16000

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{y=0}^{16000} \sqrt{\frac{0.2^2}{16000^2}+\frac{(16000\cdot 1.6+2\cdot 16000\cdot 0,2-2\cdot 0,2\cdot y)^2)\cdot sin^2(180/(4\cdot y)}{16000^2}}=1.427939878... \end{eqnarray*}$

es müssten ja denn bei beiden ungefähr das selbe rauskommen nur mit infinity rechen kann ich nicht

14.05.2010, 15:46

AD

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Da ist was gewaltig schiefgegangen mit den Klammern:

$\begin{eqnarray*} (a\cdot d+2\cdot a\cdot r-2\cdot r\cdot y)^2)\cdot sin^2(180/(n\cdot y) \end{eqnarray*}$

Im ersten Term ist ein ) zuviel, dafür fehlt hinten ein ). Statt $\begin{eqnarray*} 180 \end{eqnarray*}$ muss wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} 180^{\circ} \end{eqnarray*}$ stehen, was etwas ganz anderes als 180 (Radiant) wäre! Und mit dem $\begin{eqnarray*} a=\infty \end{eqnarray*}$ meinst du anscheinend, dass man den Grenzwert der Summe für $\begin{eqnarray*} a\to \infty \end{eqnarray*}$ betrachten soll? Wäre besser, das gleich so zu formulieren!

Wer weiß, was sonst noch schiefgegangen ist, da warte ich besser noch auf eine Korrektur bzw. Bestätigung deinerseits...

14.05.2010, 17:52

michael07

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Ja, beim zusammenkürzen und abschreiben, kann ja mal passieren Gott

Gott

Ich habe es überprüft es ist jetzt nichts mehr falsch

$\begin{eqnarray*} s = \sum\limits_{y=0}^{a\to \infty} \sqrt{\frac{r^2+(a\cdot(d+2\cdot r)-2\cdot r\cdot y)^2\cdot sin^2(180^{\circ}/(n\cdot a))}{a^2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{y=0}^{16000} \sqrt{\frac{(0,2^2+16000\cdot(1.6+2\cdot 0,2)-2\cdot 0,2\cdot y)^2\cdot sin^2(180^{\circ}/(4\cdot 16000))}{16000^2}}=1.427939878... \end{eqnarray*}$

wolframalpha :

sum[sqrt[(0.2^2+(16000 (1.6+2 0.2)-2 0.2 y)^2*sin^2((180/(4*16000))°))/16000^2],{y,0,16000}]

14.05.2010, 17:56

AD

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Sieh mal an, der allerschlimmste Fehler hat sogar noch gefehlt: Das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ im Nenner des Sinusterms...

In dieser Häufung "kann" es, aber sollte es nicht passieren, das ist mehr als ärgerlich. unglücklich

unglücklich

-----------------------------------------

Aus $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ kann man für dein

$\begin{eqnarray*} s_a = \frac{1}{a} \sum\limits_{y=0}^{a} \sqrt{r^2+(a(d+2r)-2ry)^2\cdot \sin^2\left(\frac{\pi}{n\cdot a}\right)} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} a\to \infty \end{eqnarray*}$ via $\begin{eqnarray*} x = \frac{y}{a} \end{eqnarray*}$ den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} s := \int\limits_0^1 ~ \sqrt{r^2+\frac{\pi^2}{n^2}(d+2r-2rx)^2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

folgern - Stichwort Unter- und Obersumme des Integrals. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Bleibt dann nur moch die Auswertung dieses Integrals... Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.05.2010, 20:36

michael07

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erstmal

WOW geschockt

geschockt

Aus dem Intgral

$\begin{eqnarray*} s = \int\limits_0^1 ~ \sqrt{r^2+\frac{\pi^2}{n^2}(d+2r-2rx)^2} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

erst einmal die Stammfunktion herausfinden dann in der Stammfunktion die unbekanten ( x ) durch die gegebenen Grenzen ersetzten und subtrahieren

die Stammfunktion ist nach "wolframalpha" aber "ein ganz schöner klopper"

14.05.2010, 20:40

AD

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Zitat:

Original von michael07
die Stammfunktion ist nach "wolframalpha" aber "ein ganz schöner klopper"

Halb so schlimm: Wenn du als erstes $\begin{eqnarray*} t = \frac{\pi}{nr}(d+2r-2rx) \end{eqnarray*}$ substituierst, sieht das Integral schon deutlich einfacher aus.

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14.05.2010, 21:21

michael07

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also:

$\begin{eqnarray*} s = \int\limits_0^1 ~ \sqrt{r^2+\frac{\pi^2}{n^2}(d+2r-2rx)^2-t} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s = \int\limits_0^1 ~ \sqrt{r^2+\frac{\pi^2}{n^2}(d+2r-2rx)^2-\frac{\pi}{nr}(d+2r-2rx)} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

zusammen gekürzt

$\begin{eqnarray*} s = \int\limits_0^1 ~ \sqrt{r^2+\frac{(\pi(d-2r (x-1)) (\pi r (d-2 r (x-1))-n))+r^2}{n^2 r}} ~ \dd x \end{eqnarray*}$

wohl eher falsch

14.05.2010, 21:24

AD

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Da kann ich nur zustimmen. Das geht schon damit los, dass du gar nicht substituierst, sondern nur ein $\begin{eqnarray*} -t \end{eqnarray*}$ in die Integrandenwurzel reinmogelst. Was soll das? geschockt

geschockt

14.05.2010, 21:43

michael07

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ach so, so:

$\begin{eqnarray*} s = \int\limits_0^1 ~ \sqrt{r^2+\frac{\pi^2}{n^2}(d+2r-2rx)^2} ~ \dd x- t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s = \int\limits_0^1 ~ \sqrt{r^2+\frac{\pi^2}{n^2}(d+2r-2rx)^2} ~ \dd x- \frac{\pi}{nr}(d+2r-2rx) \end{eqnarray*}$

so aber

14.05.2010, 21:46

AD

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Das ist dann wohl der Zeitpunkt zuzugeben, dass du überhaupt nicht weißt, was eine Integralsubstitution ist - das wäre ehrlicher als so eine Rumeierei. unglücklich

unglücklich

14.05.2010, 22:22

michael07

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ich habe keine große Ahnung von Integralrechnung ich arbeite mich ja seit einiger Zeit erst hinein seit ich die ober erwähnt "Rechnung" nicht durch das was ich schon kenne lösen konnte.

Integralsubstitution ?

köntest du Arthur Dent mir dabei helfen es schritt für schritt zu schaffen Gott

Gott

14.05.2010, 22:28

AD

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Also ich wiederhole jetzt nicht den Schulunterricht und erkläre lang und breit die Integralsubstitution. Jedenfalls ergibt diese Substitution $\begin{eqnarray*} t = \frac{\pi}{nr}(d+2r-2rx) \end{eqnarray*}$ hier $\begin{eqnarray*} \dd t = -\frac{2\pi}{n} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ und damit dann

$\begin{eqnarray*} s = \frac{nr}{2\pi} \cdot \int\limits_{\frac{\pi d}{nr}}^{\frac{\pi(d+2r)}{nr}}\sqrt{1+t^2} ~ \dd t \end{eqnarray*}$ .

14.05.2010, 22:56

michael07

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Integralrechnung hatte ich nicht in der Schule "Realschulabschluss 10 Klasse"

denn Rest muss ich dann allein versuchen

danke aber bis hir hin Freude

Freude

danke

Freude

ich werd mich erstmal drann setzen

14.05.2010, 23:19

AD

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Grenzwerte dann wohl auch nicht (siehe meine Anmerkung oben mit dem $\begin{eqnarray*} a\to\infty \end{eqnarray*}$ ). Solltest du aber alles nachholen, wenn du solche Art Probleme in Angriff nehmen willst, sonst bist du doch damit heillos überfordert. unglücklich

unglücklich

P.S.: Das obige Ergebnis ist dann übrigens

$\begin{eqnarray*} s = \frac{nr}{4\pi} \cdot \Bigg[ \operatorname{arsinh}(t) + t\sqrt{1+t^2} \Bigg]_{t=\frac{\pi d}{nr}}^{\frac{\pi(d+2r)}{nr}} \end{eqnarray*}$ ,

was für deine konkreten Werte $\begin{eqnarray*} d=1.6, r=0.2, n=4 \end{eqnarray*}$ am Ende $\begin{eqnarray*} s \approx 1.42785 \end{eqnarray*}$ ergibt, da warst du ja oben im Eröffnungsbeitrag nicht mehr soweit weg. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.05.2010, 20:07

michael07

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da habe ich ja noch viel nachzuholen Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich habe es eingestzt und soweit zusammen geküzt

$\begin{eqnarray*} s=\frac{n r\left(arcsinh(\frac{\pi(d+2 r)}{n r})+\frac{\pi (d+2 r)}{n r} \sqrt{1+\frac{\pi (d+2 r)}{n r}}\right)}{4 \pi}-\frac{n r \left(arcsinh(\frac{\pi d}{n r})+\frac{\pi d}{n r}\sqrt{1+\frac{\pi d}{n r}}\right)}{4 \pi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s=\frac{n r \left(arcsinh(\frac{\pi(d+2 r)}{n r})+\frac{\pi (d+2 r)}{n r} \sqrt{1+\frac{\pi (d+2 r)}{n r}}-arcsinh(\frac{\pi d}{n r})-\frac{\pi d}{n r} \sqrt{1+\frac{\pi d}{n r}}\right)}{4 \pi} \end{eqnarray*}$

ich habe auch versucht durch das Verschieben der Integrallgrenzen von

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi d}{nr} \to 0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi(d+2r)}{nr}\to \frac{\pi(d+2r)}{nr}-\frac{\pi d}{nr} = \frac{2\pi}{n} \end{eqnarray*}$

es noch weiter zusammen zukürzen funktionierte aber nicht ( nicht das erwartete Ergebniss )

Die " Formel " im Eröffnungsbeitrag habe ich mit Excel erarbeitet ( 16000 Zeilen und 6 Spaten )

15.05.2010, 20:39

AD

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Großartige Vereinfachungen durch Zusammenfassen sind hier nicht mehr zu erwarten (übrigens fehlen bei dir einige Quadrate unter den Wurzeln). Bei dem ein- oder anderen zusätzlichen Grenzübergang seitens der Parameter $\begin{eqnarray*} n,r,d \end{eqnarray*}$ mag noch was drin sein, aber dann ist dieser Grenzübergang auch genau zu spezifizieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

15.05.2010, 22:40

michael07

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dann ist es

$\begin{eqnarray*} s= \frac{n r\left(arcsinh(\frac{\pi(d+2 r)}{n r})+\frac{\pi (d+2 r)}{n r} \sqrt{1+\left(\frac{\pi (d+2 r)}{n r}\right)^2}\right)}{4 \pi}-\frac{n r \left(arcsinh(\frac{\pi d}{n r})+\frac{\pi d}{n r}\sqrt{1+{\left(\frac{\pi d}{n r}\right)^2}}\right)}{4 \pi} \end{eqnarray*}$

Verschieben der Integrallgrenzen

$\begin{eqnarray*} s = \frac{nr}{4\pi} \cdot \Bigg[ \operatorname{arsinh}(t) + t\sqrt{1+t^2} \Bigg]_{\frac{\pi d}{nr}}^{\frac{\pi(d+2r)}{nr}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s = \frac{nr}{4\pi} \cdot \Bigg[ \operatorname{arsinh}\left(t-\frac{\pi d}{n r}\right) + \left(t-\frac{\pi d}{n r}\right)\sqrt{1+\left(t-\frac{\pi d}{n r}\right)^2} \Bigg]_{\frac{\pi d}{nr}-\frac{\pi d}{n r}}^{\frac{\pi(d+2r)}{nr}-\frac{\pi d}{n r}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s = \frac{nr}{4\pi} \cdot \Bigg[ \operatorname{arsinh}\left(t-\frac{\pi d}{n r}\right) + \left(t-\frac{\pi d}{n r}\right)\sqrt{1+\left(t-\frac{\pi d}{n r}\right)^2} \Bigg]_{0}^{\frac{2\pi}{n}} \end{eqnarray*}$

15.05.2010, 22:50

AD

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Da verschiebst du was falsch: Wenn die untere Grenze bei t=0 liegen soll, dann lautet es richtig

$\begin{eqnarray*} s = \frac{nr}{4\pi} \cdot \Bigg[ \operatorname{arsinh}\left(t+\frac{\pi d}{n r}\right) + \left(t+\frac{\pi d}{n r}\right)\sqrt{1+\left(t+\frac{\pi d}{n r}\right)^2} \Bigg]_{0}^{\frac{2\pi}{n}} \end{eqnarray*}$ .

15.05.2010, 23:35

michael07

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also spielt es gar keine Rolle wo die die Grenze liegen,

es läst sich nicht weiter zusammen kürzen

15.05.2010, 23:41

AD

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Zitat:

Original von michael07
also spielt es gar keine Rolle wo die die Grenze liegen,

Wenn das die Absicht hinter deinen seltsamen Verschiebungen war: Nein, das bringt nichts, war von vornherein zum Scheitern verurteilt.

Weiß auch nicht, warum du hier noch zu dranherum zerrst und haderst: Ist doch ein schönes rundes Ergebnis, was bei der Summe am Anfang so gar nicht zu vermuten war.

16.05.2010, 00:08

michael07

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Ja da hast du recht die Summe wahr ja noch "furchbarer in Excel" vor'm zusammen kürzen im gegensatz zum anfang

Ich danke dir sehr für deine Mithilfe und das du dir hir für Zeit genommen hast

Danke Freude

Freude

und aufwierder sehen Wink

Wink

ein schönen Abend noch

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