Koordinatentransformation einer Matrix

14.05.2010, 17:36	majorpain	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatentransformation einer Matrix Hi Liebe User. Ich habe eine Aufgabe, die ich gerechnet habe, aber ich möchte gern eine bestätigung, ob es richtig ist. Aufgabe: Die lineare Abbildung $\begin{eqnarray} \Phi : \mathbb R ^{4} \Rightarrow \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ sei bezüglich der kanonischen Basen e1, e2, e3, e4 und e1, e2, e3 durch die Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & cos(\alpha ) & -sin(\alpha ) & 0 \\ 0 & sin(\alpha ) & cos(\alpha ) & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben. Was ist die geometrische Wirkung von A? Hinweis: was passiert mit der 2-3-Ebene und was mit der 4.Achse? Berechnen Sie die Darstellungsmatrix A' von $\begin{eqnarray} \Phi \end{eqnarray}$ bezüglich der Basen e1, e1+2e2, 2e2+e3, 5e4 in $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{4} \end{eqnarray}$ und e1, e1+2e2, 3e3 in $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{3} \end{eqnarray}$ . MEINE IDEEN Zuerrt die geometrische Wirkung: Es gilt : A * ei=bi mit ei $\begin{eqnarray} \in \mathbb R ^{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow b_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, b_{2}=\begin{pmatrix} 0 \\ cos(\alpha ) \\ sin(\alpha ) \end{pmatrix} , b_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ -sin(\alpha ) \\ cos(\alpha ) \end{pmatrix}, b_{4}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die 2-3-Ebene bewirkt einen Kreis. Die 4.Achse gibt es nicht mehr. (Kann man das als begrüngind schreiben, oder muss man es erklären/erläutern? wenn ja wie? und wie ist das Fachwort dafür? Projektion/Drehung/Transformation... ****** Nun A' ausrechnen. Mit der Formel: $\begin{eqnarray} A^{'}=R^{-1}AS \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} S=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 &0&5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 &\frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} R^{-1}A=\begin{pmatrix} 1 &\frac{1}{2}cos(\alpha ) & -\frac{1}{2}sin(\alpha ) & 0 \\ 0 & \frac{1}{2}cos(\alpha ) & -\frac{1}{2}sin(\alpha ) & 0 \\ 0 & \frac{1}{3}sin(\alpha ) & \frac{1}{3}cos(\alpha )&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit S malgenommen ergibt es: $\begin{eqnarray} A'=\begin{pmatrix} 1 &1+cos(\alpha ) & cos(\alpha) -\frac{1}{2}sin(\alpha ) & 0 \\ 0 & cos(\alpha ) & cos(\alpha )-\frac{1}{2}sin(\alpha ) & 0 \\ 0 & \frac{2}{3}sin(\alpha ) & \frac{2}{3}sin(\alpha )+\frac{1}{3}cos(\alpha )&0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ stimmt es alles???? Danke im Voraus
15.05.2010, 14:35	majorpain	Auf diesen Beitrag antworten »
ist das richtig so???

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