Taylorpolynome

14.05.2010, 17:35

XiaoBao

Ok, kein Problem, solange ich die Aufgabe so abgeben kann, ist das Wichtigste zunächst erledigt! :-) Danke für die Hilfe!

Es wäre super, wenn jemand in den nächsten Tagen nochmal die Zeit finden würdest, um meine Fragen zur Symmetrie zu beantworten. :-)

Ich bin gerade dabei, die nächste Aufgabe zu bearbeiten, und habe auch hier 1-2 kleine Fragen..

Es geht um Taylorpolynome..

Die Berechnung selbst ist kein Problem! Und ich habe auch schon wieder einige Aufgaben für die reine Berechnung und Skizzierung hinter mir..
Aber jetzt soll ich näherungsweise unter Verwendung von Taylor-Polynomen 2. Ordnung den Wert an einem x-Wert berechnen. Das berechnen des Polynoms selber ist wie gesagt kein Problem.. Nur sollen wir auch geeignete Entwicklungsstellen auswählen, und da kenne ich die Kriterien nicht.. Wenn ich als Entwicklungspunkt 0 wähle wenn dann bei der zweiten Ableitung der Formel an der Stelle 0 der gleiche Wert raus kommt, ist es dann eine geeignete Entwicklungsstelle? Hier die Formel:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x} , x=1,02 \end{eqnarray*}$

Also die 1. und 2. Ableitung bilden (schon erledigt), und jetzt brauche ich wie gesagt die geeignete Entwicklungsstelle. Bekomme ich die durch ausprobieren?

Viele Grüße,

XB

Edit:
Die Entwicklungsstelle 0 geht hier natürlich nicht, da man so keine Ergebnisse erhält. Aber wenn man z.B. 1 wählt, ist die Abweichung auch bei über 35%.. Muss ich also weiter probieren, bis ich keine nennenswerte Abweichung mehr habe, oder gibt es dafür eine Regel/Formel/Ansatz? smile

14.05.2010, 18:04

giles

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35%? Glaub ich mal nicht.

Entwickle $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ um 0 (entweder mit Binomischer Reihe oder per Hand) und setze 0,02 ein. Wenn man nur Potenzen dritter Ordnung von etwas kleinem wie 0,02 weglässt erhält man schon eine sehr gute Näherung.

14.05.2010, 18:35

XiaoBao

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Aber funktioniert es nicht so, dass ich die Ableitungen der Originalformel verwende? Dann hätte ich hier beim Taylor-Polynom 2. Ordnung $\begin{eqnarray*} 1 + x/2 - x^{2}/8 \end{eqnarray*}$ wenn ich da 1,02 einsetze erhalte ich einen Wert von 1,37995. Wenn ich 1,02 in die Originalformel einsetze ist der Wert 1,00995.

Oder habe ich das falsch verstanden?

14.05.2010, 18:43

giles

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Zitat:

Original von XiaoBao
Oder habe ich das falsch verstanden?

Ja.

Du setzt also 1,02 ein, das bedeutet du hast um 0 entwickelt. Wie hast du denn $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ um 0 entwickelt? Mach das mal vor, ich hol meine Kamera.

kA wo du die Formel $\begin{eqnarray*} 1 + x/2 - x^{2}/8 \end{eqnarray*}$ abgeschrieben hast, aber ich würde vorschlagen, du schaust es dir noch mal genau an... die hat nämlich recht wenig mit der Entwicklung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x} \end{eqnarray*}$ um 1 zu tun, wohl aber mit der von $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+1} \end{eqnarray*}$ um 0...

Noch mal: Ein Taylorpolynom um 1 hat die Form

$\begin{eqnarray*} T_n(x)=a_0+a_1 (x-1)+a_2 (x-1)^2 + \ldots + a_n (x-1)^n \end{eqnarray*}$

15.05.2010, 00:07

XiaoBao

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Naja.. das habe ich ja auch getan, meine Frage war ja, wie finde ich heraus, was eine geeignete Entwicklungsstelle ist. Ahh.. ok, i see.. smile

sry.. ich habe einfach das Taylor-Polynom um 0 genommen, und du meintest, ich solle das von von 1 nehmen.. gut, wird gemacht! smile

thx!
$\begin{eqnarray*} T_{2}: \sum\limits_{k=0}^2 (f^{(k)} (x)/k!) \cdot (x - x_{0}) = ((1,00995\cdot 0,2)/0!) + ((0,49507 \cdot 0,2)/1!) - ((0,24268 \cdot 0,2)/ 2!) = 0,094946 \end{eqnarray*}$

Besser? smile

15.05.2010, 01:26

giles

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... nicht wirklich verwirrt

Was ist das denn für eine komische Rechnung die du da präsentierst?
Du willst berechnen

$\begin{eqnarray*} f(x) \approx f(1)+f'(1) (x-1)+\frac{f''(1)}{2} (x-1)^2 \end{eqnarray*}$

jetzt berechne für $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ die Stellen $\begin{eqnarray*} f(1),f'(1),f''(1) \end{eqnarray*}$ und setze x=1,02 ein...

15.05.2010, 01:37

XiaoBao

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hmm.. ok, das kommt dann morgen! ich habe gerade die formel des taylor-polynoms 2. grades genommen und 1,2 eingesetzt, was ich jetzt bei genauerem hinsehen natürlich auch sehe, dass ich nach meinem gedankengang eh 1,02 hätte einsetzen müssen und entsprechen immer * 0,02 hätte rechnen müssen.. aber gut.. wenn ich 1 einsetze kommt $\begin{eqnarray*} T_{2}= (x - 1) + \frac{(x - 1)}{2} - \frac{(x - 1)}{8} = 0,0275 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = 1,02 \end{eqnarray*}$ bei raus..

jetzt hab ich es ja doch noch heute gemacht.. :P

ich sollte echt um diese uhrzeit keine HA mehr machen, kein wunder wenn ich da so viele flüchtigkeits- und denkfehler mache! sry for the mess! Augenzwinkern

Und Danke für die Geduld mit mir! Es sieht immer alles so logisch aus, wenn ich gerade dran sitze und es tippe, wenn ich dann nach dem nächsten Post nochmal nachlese sehe ich dann, was für ein Mist es wirklich war.. ^

15.05.2010, 01:42

giles

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Zitat:

Original von XiaoBao
$\begin{eqnarray*} T_{2}= (x - 1) + \frac{(x - 1)}{2} - \frac{(x - 1)}{8} = 0,0275 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = 1,02 \end{eqnarray*}$ bei raus..

Vergleichen wir das mal mit der Formel die ich gegeben hab
$\begin{eqnarray*} f(x) \approx f(1)+f'(1) (x-1)+\frac{f''(1)}{2} (x-1)^2 \end{eqnarray*}$

demnach ist $\begin{eqnarray*} f(1)=x-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(1)=\frac{-1}{4(x-1)} \end{eqnarray*}$

Wenn Konstanten von x abhängen ist das schon mal ein schlechtes Zeichen. Schlaf noch mal drüber Augenzwinkern

15.05.2010, 13:32

XiaoBao

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Ok, dann setze ich mal ein..

$\begin{eqnarray*} f(x) \approx f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2} (x-1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) \approx 1 + (-1 \cdot 0,02) + \frac{1}{3} (0,02)^2 = 0.980 \overline{1} \end{eqnarray*}$

Aber wie ich eine geeignete Entwicklungsstelle aussuche, weiss ich leider immer noch nicht.. Und das würde ich gerne nachvollziehen können!

Was mache ich mit diesem Wert jetzt?

Ahhh, ok, ich habe wenigstens jetzt auch einen weiteren Fehler in meiner vorherigen Formel gefunden! Ich habe vergessen das $\begin{eqnarray*} (x-x_{0}) \end{eqnarray*}$ jeweils mit k zu potenzieren.. Hammer

15.05.2010, 13:43

giles

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Das ja wie Zähne ziehen mit dir... Big Laugh

Erst rechnest du die ganze Zeit mit den richtigen Werten in für $\begin{eqnarray*} f(1),f'(1),f''(1) \end{eqnarray*}$ in der falschen Formel, jetzt benutzt du die richtige Formel aber ganz falsche Werte!

$\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$ ist zumindest richtig, jetzt gib doch einmal die Formel für $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(x) \end{eqnarray*}$ an und was dann folglich $\begin{eqnarray*} f'(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f''(1) \end{eqnarray*}$ sind.

Zu deiner Frage mit der Entwicklungsstelle:
Da du die Wurzeln nicht benutzen darfst, müssen bei der Entwicklungsstelle ja wieder rationale oder natürliche Zahlen rauskommen. Außerdem sollte die Entwicklungsstelle nahe am zu nähernden Wert sein, damit die Näherung schon nach ein paar Termen gut ist. Diese Kriterien erfüllt eigentlich nur die Entwicklungsstelle 1.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1.02} \approx f(1)+f'(1)(1.02-1)+\frac{f''(1)}{2}(1.02-1)^2 \end{eqnarray*}$

16.05.2010, 23:21

XiaoBao

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Man, man, man, irgendwie scheine ich hier echt ein Brett vorm Kopf zu haben! Dabei stelle ich mich für gewöhnlich bei mathematischen sachen ziemlich gut an..

Also..
$\begin{eqnarray*} f(1)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(1)=0,5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(1)=-0,25 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1,02} \approx 1 + (0,5 \cdot (1,02 - 1)) - \frac{0,25}{2} (1,02-1)^2 = 1,00995 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich habe es jetzt endlich korrekt! Big Laugh

Vielen Dank nochmal für die ganze Hilfe!

16.05.2010, 23:56

giles

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So ist das halt manchmal, aber jetzt ist ja alles richtig und alle Beteiligten sind mathematisch und menschlich weitergekommen Augenzwinkern

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