konvergenz

14.05.2010, 18:29

analysisisthedevil

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konvergenz

man untersuche die folge $\begin{eqnarray*} (a_{n} )_{n=1,2,3.... } \end{eqnarray*}$

auf konvergenz und bestimme gegebenfalls den grenzwert

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{17-n^{2} }{n+5} \end{eqnarray*}$

die zahlenfolge $\begin{eqnarray*} a_{n} \enspace mit \enspace n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ heißt konvergent gegen den grenzwert (limes) a, wenn es zu jeder beliebeigen positiven zahl $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ stehts eine natürliche zahl $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ gibt, so daß $\begin{eqnarray*} | a_{n} - a |\leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n\geq N( \varepsilon) \end{eqnarray*}$ gilt

also jetz müsste man eigentlich sagen,hier steht die definition und ich sollte es eigentlich verstehen,allerdings verwirrt mich die defintion und ich peil nich ganz was es mit dem $\begin{eqnarray*} N( \varepsilon) \end{eqnarray*}$ auf sich hat.
wär nett wenn mir jemand au fdie sprünge helfen könnte

14.05.2010, 18:47

Equester

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Ich kanns zwar deine Definition nicht lesen :P
aber nur mal die Folge angeschaut...

Du hast einen Zählergrad von 2 und einen Nennergrad von 1...
Also ist der Zählergrad um 1 größer wie der Nennergrad.
Ich kann also sagen ich habe eine schiefe Asymptote (eine Gerade)
Diese Gerade (da sie nicht parallel zu den Achsen sein kann) geht auf
jeden Fall ins Unendliche -> Keine Konvergenz/Grenzwert

Oder ist das im Bezug auf deine Definition falsch argumentiert? Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.05.2010, 19:03

analysisisthedevil

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habs korrigiert in meinerm ersten post

14.05.2010, 19:22

Equester

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Schau mal hier:

http://www.matheboard.de/archive/380785/thread.html

Da findest du, wie es eigentlich funktionieren sollte.
Wie gesagt funktioniert das in deinem Beispiel nicht so Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Siehe obige Erklärung^^)

14.05.2010, 19:31

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Equester
Schau mal hier:

http://www.matheboard.de/archive/380785/thread.html

Da findest du, wie es eigentlich funktionieren sollte.
Wie gesagt funktioniert das in deinem Beispiel nicht so Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Siehe obige Erklärung^^)

sorry,aber auch nachdem ich den thread durchgelesen habe finde ich das immenroch schrecklich verwirrend.
ich bekomm schon schädelweh wenn ich nur ansatzweise versuche die definition zu wiederhohlen in meinem kopf und zu verstehen....

14.05.2010, 19:57

Equester

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Du musst dir dass mit dem Epsilon so vorstellen:
Du hast den Grenzwert (z.B.: 1) und ziehst eine Parallele zur x-Achse mit
y=1...Das Epsilon bedeutet, dass du nun von oben und unten ebenfalls eine
Parallele ziehst...z.B. y=1,1 und y=0,9! Jetzt muss ab einem bestimmten Glied
alles zwischen 0,9 und 1,1 liegen! Es dürfen nur noch "endlich viele" n außerhalb dieser
Umgebung liegen! (Wie viele ist egal, aber endlich viele)

In deinem Fall gibt es aber keine solche Parallele zur x-Achse!

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14.05.2010, 20:04

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Equester
Du musst dir dass mit dem Epsilon so vorstellen:
Du hast den Grenzwert (z.B.: 1) und ziehst eine Parallele zur x-Achse mit
y=1...Das Epsilon bedeutet, dass du nun von oben und unten ebenfalls eine
Parallele ziehst...z.B. y=1,1 und y=0,9! Jetzt muss ab einem bestimmten Glied
alles zwischen 0,9 und 1,1 liegen! Es dürfen nur noch "endlich viele" n außerhalb dieser
Umgebung liegen! (Wie viele ist egal, aber endlich viele)

In deinem Fall gibt es aber keine solche Parallele zur x-Achse!

ok , also immer langsam,ich bin nicht das hellste schäfchen in der herde Tanzen

Tanzen

.
hab ich das richtig verstanden das ich als erstes immer den grenzwert bestimmen muss.d.h für n einen wert einsetzen der sich möflichst unendlich nähert?

14.05.2010, 20:10

Equester

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Yep!

Wenn du zum Beispiel hast

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^{2}+3x }{x^{2}+2 } \end{eqnarray*}$

tust du jeden einzelnen Summanden durch die höchste Potenz teilen.
Sollte dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2x^{2}}{x^{2}}+\frac{3x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}} } = \frac{2+\frac{3}{x} }{1+\frac{2}{x^{2}} } \end{eqnarray*}$

Das lässt du jetzt gegen unendlich gehen...du siehst, dass dein Grenzwert dann
2 ist! (das siehst du auch? bei den Summanden, bei denen unten ein x oder x² ist,
geht das ganze gegen Null...)

Dann das ganze mit deiner Epsilonumgebung überprüfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

(siehe deine Formel)

14.05.2010, 21:11

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Equester
Yep!

Wenn du zum Beispiel hast

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^{2}+3x }{x^{2}+2 } \end{eqnarray*}$

tust du jeden einzelnen Summanden durch die höchste Potenz teilen.
Sollte dann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2x^{2}}{x^{2}}+\frac{3x}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{2}{x^{2}} } = \frac{2+\frac{3}{x} }{1+\frac{2}{x^{2}} } \end{eqnarray*}$

Das lässt du jetzt gegen unendlich gehen...du siehst, dass dein Grenzwert dann
2 ist! (das siehst du auch? bei den Summanden, bei denen unten ein x oder x² ist,
geht das ganze gegen Null...)

Dann das ganze mit deiner Epsilonumgebung überprüfen Augenzwinkern

Augenzwinkern

(siehe deine Formel)

wieso muss ich erst jeden summanden durch die höchste potenz teilen??

14.05.2010, 21:37

Equester

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Du möchtest wissen, wonach das ganze strebt!
Es ist aber nur interessant was die höchste Potenz macht...
Denn die anderen niedrigeren Potenzen machen ja nicht mehr viel Augenzwinkern

Augenzwinkern

x²-x

Wenn x unendlich ist, strebt das ganze trotzdem gegen unendlich! Denn das
kleine unendlich kann dem großen unendlich nicht viel anhaben xDD

14.05.2010, 21:40

TechnoBommel

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Ich versuch es auch einmal zu erklären.
Du versuchst deinen zu untersuchenden Bruch um die Größte Potenz zu "bereinigen",
dann siehste am Ende schnell was passiert. Ich habs einmal anders aufgeschrieben, vieleicht kannste damit mehr anfangen

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^{2}+3x }{x^{2}+2 } = \frac{x^2}{x^2} * \frac{2+\frac{3}{x}}{1+\frac{2}{x^2} } = \frac{2+\frac{3}{x}}{1+\frac{2}{x^2} } \end{eqnarray*}$

Nun guckste dir deinen Umgeformten Term an
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to \infty } \frac{2+\frac{3}{x}}{1+\frac{2}{x^2} }= ...<br /> \end{eqnarray*}$

Das sollte man dann sehen ;-)

14.05.2010, 21:49

analysisisthedevil

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RE: konvergenz
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{17-n^{2} }{n+5} \end{eqnarray*}$

soll ich da jetz dann also auch von der höchsten potenz weg?

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{17-n^{2} }{n+5} = \frac{\frac{17}{n^{2} } - \frac{n^{2} }{n^{2} } }{\frac{n}{n^{2} } + \frac{5}{n^{2} } } = \frac{\frac{17}{n^{2} } - \frac{1 }{1 } }{\frac{1}{n } + \frac{5}{n^{2} } } \end{eqnarray*}$

das sieht doch jetz eiegntlich eher komplizierter aus als leichter oder?

14.05.2010, 21:59

TechnoBommel

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Wichtig! höchste Potenz des Nenners! Sorry hab ich grad vergessen!

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{17-n^{2} }{n+5} = \frac{n}{n} * \frac{\frac{17}{n}- n }{1 +\frac{5}{n}} = \frac{\frac{17}{n}- n }{1 +\frac{5}{n}} \end{eqnarray*}$

14.05.2010, 22:04

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von TechnoBommel
Wichtig! höchste Potenz des Nenners! Sorry hab ich grad vergessen!

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{17-n^{2} }{n+5} = \frac{n}{n} * \frac{\frac{17}{n}- n }{1 +\frac{5}{n}} = \frac{\frac{17}{n}- n }{1 +\frac{5}{n}} \end{eqnarray*}$

also gilt das auch nur für gebrochene folgen,mit der potenz eliminieren,schätze ich ma

jetz hab ich also $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{\frac{17}{n}- n }{1 +\frac{5}{n}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }\frac{\frac{17}{n}- n }{1 +\frac{5}{n}} \end{eqnarray*}$

daraus folgt der grenzwert $\begin{eqnarray*} a= - \infty \end{eqnarray*}$

die zahlenfolge $\begin{eqnarray*} a_{n} \enspace mit \enspace n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ heißt konvergent gegen den grenzwert (limes) a, wenn es zu jeder beliebeigen positiven zahl $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ stehts eine natürliche zahl $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ gibt, so daß $\begin{eqnarray*} | a_{n} - a |\leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n\geq N( \varepsilon) \end{eqnarray*}$ gilt

ich raff immer noch nich wie ich das jetz darauf anwenden soll....

14.05.2010, 22:21

Equester

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Gar nicht, es hieß doch..."wenn es konvergiert, gebe den Grenzwert an"
Du hast hier aber keine Konvergenz?

14.05.2010, 22:26

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Equester
Gar nicht, es hieß doch..."wenn es konvergiert, gebe den Grenzwert an"
Du hast hier aber keine Konvergenz?

wieso? weil $\begin{eqnarray*} | a_{n} - a |= | a_{n} + \infty | \end{eqnarray*}$

und deswegen kann es gar kein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ geben das größer oder gleich groß ist wie $\begin{eqnarray*} | a_{n} - a | \end{eqnarray*}$ weil das ja immer unendlich is oder?
wenn das so stimmt ,dann hätte ich zumindest die aufgabe gecheckt

14.05.2010, 22:32

Equester

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Jo ich denke du nimmst dein

$\begin{eqnarray*} | a_{n} + \infty | \end{eqnarray*}$
und nimmst an es gibt ein Epsilon, dass noch größer ist.
Das kann nur ein größeres unendlich sein...und das ist sinnlos!
(Erinnere dich an die von mir erklärte Funktion von Epsilon)

14.05.2010, 22:46

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von Equester
Jo ich denke du nimmst dein

$\begin{eqnarray*} | a_{n} + \infty | \end{eqnarray*}$
und nimmst an es gibt ein Epsilon, dass noch größer ist.
Das kann nur ein größeres unendlich sein...und das ist sinnlos!
(Erinnere dich an die von mir erklärte Funktion von Epsilon)

ok,das macht sinn jetz muss ich nur noch
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n- 1}{n^{2}+ 3n+ 2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{6n^{5}+ n^{2} - 2 }{12n^{5}- 10 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \left(- 1\right) ^{n} \cdot \frac{n^{2}+ n- 2 }{n^{2}- 10 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}= \frac{2^{n}+ \left(- 2\right)^n }{2^{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n}= \frac{2^{n}+ \left(- 2\right)^n }{3^{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \left(- 1\right) ^{n} \cdot \frac{n^{2}+ 2n- 1 }{n^{3}+5 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} =n\cdot ( \sqrt{n^{2}+1 } - n) \end{eqnarray*}$

hinbekommen ,naja ich mach am drauf los

14.05.2010, 22:53

Equester

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xD
Viel Spaß!
Aber zumindest die ersten 3 sind einfach und gehen nach dem bisher besprochenen
Prinzip! Man kanns direkt ablesen xD

Die mittleren zwei seh ichs grad nicht direkt,
dann wieder wie besprochen Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Alternierend kannst du erstmal ausklammern und danach betrachten Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Bin jetzt aber im Bett...und morgen bin ich wahrscheinlich nicht (oder nur kurzzeitig da)

Gute Nacht Wink

Wink

(Allerdings gibt es sicher welche, die dir um Welten besser helfen können als ich^^)

14.05.2010, 23:01

analysisisthedevil

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RE: konvergenz
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n- 1}{n^{2}+ 3n+ 2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n- 1}{n^{2}+ 3n+ 2 } = \frac{\frac{n}{n^2} - \frac{1}{n^2} }{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{3n}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} } = \frac{\frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} }{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^{2}} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } = \frac{\frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} }{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^{2}} } \end{eqnarray*}$

daraus folgt a=0

so und nu muss ich also ein epsylon wählen...ui ich glaub ich steh doch aufm schlauch

14.05.2010, 23:06

TechnoBommel

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Jop funktioniert eigentlich alles wie vorhin im beispiel.

Nur bei den $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ , kannste dir die Klamotte dahinter ansehen, wenn die gegen 0 geht, so geht auch die Folge gehen 0.

Denn ob + oder -0 ist Latte.

Aber wenn die jetzt gegen einen Wert z.B. 1 geht, dann haste da immer -1 +1 alternierend, d.h. die Folge divergiert.

Ansonsten sind das schöne Aufgaben, have FUN!

14.05.2010, 23:15

analysisisthedevil

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RE: konvergenz

Zitat:

Original von analysisisthedevil
$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n- 1}{n^{2}+ 3n+ 2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{n- 1}{n^{2}+ 3n+ 2 } = \frac{\frac{n}{n^2} - \frac{1}{n^2} }{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{3n}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} } = \frac{\frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} }{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^{2}} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } = \frac{\frac{1}{n} - \frac{1}{n^2} }{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^{2}} } \end{eqnarray*}$

daraus folgt a=0

so und nu muss ich also ein epsylon wählen...ui ich glaub ich steh doch aufm schlauch

also z.b bei der aufgabe hier,wie beweis ich denn jetz dass es zu jeder beliebeigen positiven zahl $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ stehts eine natürliche zahl $\begin{eqnarray*} N(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ gibt, so daß $\begin{eqnarray*} | a_{n} - a |\leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n\geq N( \varepsilon) \end{eqnarray*}$ gilt

ich peil das irgendwie doch nicht.. $\begin{eqnarray*} N( \varepsilon) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$

wie das zusammenhängt udn wie ich das wähl....also $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ sind quasi alle positiven zahlen,das peil ich glaube ich

14.05.2010, 23:22

TechnoBommel

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Nochmal zu dem Epsilon.

Das Teil is nur zur Definition der Konvergenz.

Heißt auf gut Deutsch übersetzt.

Wenn du dir eine Abweichung (das besagte Esilon) noch so klein vorgibst, irgendwann ist die Folge unterhalb diesen Fehlers.

Nur zur Verdeutlichung Grenzwert ist 0. Dann hast du ein Epsiolon von z.B 0,01.
Ab irgendeinem n diener Folge ist der Abstand deines Folgengliedes zur 0 weniger als die vorgegebenen 0,01.

Das funktioniert halt mit jedem Epsilon > 0.
Da musst du also nix mehr zeigen, du ahst dne Grenzwert ausgerechnet und der erfüllt genau das Kriterium.

NOchmal von mathemathisch auf Deutsch:
Definition

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to \infty } f(x) = a<br /> \\<br /> \forall \epsilon>0 &\exists N_\epsilon \in \mathbb N &\text{so, dass} | a_{N_\epsilon} - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$
Für jede noch so kleine Zahl Epsilon , existert ein Index der Folge, abdem der Abstand zum Grenzwert geringer ist, als das vorgebene Epsilon.

14.05.2010, 23:27

analysisisthedevil

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Zitat:

Original von TechnoBommel
Nochmal zu dem Epsilon.

Das Teil is nur zur Definition der Konvergenz.

Heißt auf gut Deutsch übersetzt.

Wenn du dir eine Abweichung (das besagte Esilon) noch so klein vorgibst, irgendwann ist die Folge unterhalb diesen Fehlers.

Nur zur Verdeutlichung Grenzwert ist 0. Dann hast du ein Epsiolon von z.B 0,01.
Ab irgendeinem n diener Folge ist der Abstand deines Folgengliedes zur 0 weniger als die vorgegebenen 0,01.

Das funktioniert halt mit jedem Epsilon > 0.
Da musst du also nix mehr zeigen, du ahst dne Grenzwert ausgerechnet und der erfüllt genau das Kriterium.

NOchmal von mathemathisch auf Deutsch:
Definition

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to \infty } f(x) = a<br /> \\<br /> \forall \epsilon>0 &\exists N_\epsilon \in \mathbb N &\text{so, dass} | a_{N_\epsilon} - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$
Für jede noch so kleine Zahl Epsilon , existert ein Index der Folge, abdem der Abstand zum Grenzwert geringer ist, als das vorgebene Epsilon.

wow,ok also ich muss im prinzip nichts tun als n gegen unendlich streben lassen und das so hinschreiben und das war alles....auch nich schlecht

14.05.2010, 23:35

TechnoBommel

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Yess, wann das Teil gegen einen Wert geht, erfüllts die Definition, du hast den Grenzwert gefunden. Fertig!

Wie gesagt, bei $\begin{eqnarray*} (-1)^n* \frac{...}{...} \end{eqnarray*}$ musste nur $\begin{eqnarray*} \frac{...}{...} \end{eqnarray*}$ untersuchen. Das muss dann a) gegen 0 gehen und b) monoton fallend sein.
Wenn es eins von beiden nicht ist, divergiert die Folge.

Leibnizkriterium nennt sich der Spaß.
http://de.wikipedia.org/wiki/Leibniz-Kriterium

14.05.2010, 23:40

IfindU

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TechnoBommel muss dich korrigieren, das Leibnitzkriterium geht für Reihen, nicht für Folgen. Wenn eine Folge eine Nullfolge ist, ist der Grenzwert bereits 0 und existent. Man braucht keine Monotonie für.

14.05.2010, 23:41

analysisisthedevil

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RE: konvergenz
nun gut,also von den lösungen die ich im skript habe weis ich,das z.b $\begin{eqnarray*} a_{n}= \frac{2^{n}+ \left(- 2\right)^n }{2^{n} } \end{eqnarray*}$

keinen grenzwert hat aber häufungspunkte bei 0 und 2 hat

ich mach jetz einfach ma,was ich die ganze zeit davor auch gemacht hab $\begin{eqnarray*} a_{n}= \frac{2^{n}+ \left(- 2\right)^n }{2^{n} } = \frac{\frac{2^{n}}{2^{n}} + \frac{(- 2)^n}{2^{n}} }{\frac{2^{n}}{2^{n}} } = \frac{1- 1}{1} = \frac{0}{1} = 0 \end{eqnarray*}$

hab ich damit jetz bewiesen ,das es keinen grenzwert gibt,da man für n keinen wert mehr eisnetzen kann?
und wie komme ich jetz auf die häufungspunkte?

14.05.2010, 23:42

TechnoBommel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von IfindU
TechnoBommel muss dich korrigieren, das Leibnitzkriterium geht für Reihen, nicht für Folgen. Wenn eine Folge eine Nullfolge ist, ist der Grenzwert bereits 0 und existent. Man braucht keine Monotonie für.

Hast recht sorry Gott

Gott

Ist schon spät, ich gehe besser schlafen Hammer

Hammer

14.05.2010, 23:44

TechnoBommel

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RE: konvergenz

Zitat:

Original von analysisisthedevil
nun gut,also von den lösungen die ich im skript habe weis ich,das z.b $\begin{eqnarray*} a_{n}= \frac{2^{n}+ \left(- 2\right)^n }{2^{n} } \end{eqnarray*}$

keinen grenzwert hat aber häufungspunkte bei 0 und 2 hat

ich mach jetz einfach ma,was ich die ganze zeit davor auch gemacht hab $\begin{eqnarray*} a_{n}= \frac{2^{n}+ \left(- 2\right)^n }{2^{n} } = \frac{\frac{2^{n}}{2^{n}} + \frac{(- 2)^n}{2^{n}} }{\frac{2^{n}}{2^{n}} } = \frac{1- 1}{1} = \frac{0}{1} = 0 \end{eqnarray*}$

hab ich damit jetz bewiesen ,das es keinen grenzwert gibt,da man für n keinen wert mehr eisnetzen kann?
und wie komme ich jetz auf die häufungspunkte?

guck nochmal bei $\begin{eqnarray*} (-2)^n \end{eqnarray*}$ das ist doch + bzw - bei geradem bzw. ungeradem n. Demnach auch später + oder -1 , du hast nur den Fall -1 betrachtet.

15.05.2010, 00:00

analysisisthedevil

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: konvergenz
das seh ich aber auch nur wenn ich hier in dem fall im nenner die höchste potenz nicht eliminiere oder?

15.05.2010, 10:56

TechnoBommel

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Hier einmal das kritisch Dingen erklärt.

$\begin{eqnarray*} \frac{(-2)^n}{(2)^n} = \frac{(-1)^n*(2)^n}{(2)^n} = (-1)^n = \begin{cases} 1 &\text{für n gerade} \\ -1 &\text{für n ungerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$

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