stochatisch unabhängig

14.05.2010, 19:18	TechnoBommel	Auf diesen Beitrag antworten »
stochatisch unabhängig Ich habe die folgedne Aufgabe: $\begin{eqnarray} A,B \in \mathcal{A}\text{ sind stochastisch unabhängige Ereignisse } \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie dass auch $\begin{eqnarray} A \text{und} B\complement , A\complement \text{und} B \text{sowie} A\complement \text{und} B\complement \end{eqnarray}$ stochastisch unabhängig sind. (ansich ja logisch) Ich habe schon viel rumgeformt, aber kam nie zu etwas... Ich weiß doch nur: $\begin{eqnarray} P(A\cap B)=P(A)P(B) \end{eqnarray*}$ und irgendwie muss ich mich ja später darauf wieder berufen, nur leider kam ich nicht an diese Stelle...
14.05.2010, 19:33	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist $\begin{eqnarray} P(A\cap B) = P(A) \cdot P(B) \end{eqnarray}$ und nachzuweisen ist $\begin{eqnarray} P(A\cap B^c) = P(A) \cdot P(B^c) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(A^c\cap B) = P(A^c) \cdot P(B) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(A^c\cap B^c) = P(A^c) \cdot P(B^c) \end{eqnarray}$ . Benutzen kannst du natürlich außerdem allgemeine Regeln zur Wahrscheinlichkeitsberechnung, so etwa $\begin{eqnarray} P(E^c) = 1-P(E) \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) + P(E_2) \end{eqnarray}$ für disjunkte $\begin{eqnarray} E_1,E_2 \end{eqnarray}$ . Letzeres kann man z.B. für $\begin{eqnarray} E_1=A\cap B \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} E_2 = A\cap B^c \end{eqnarray}$ anwenden...
14.05.2010, 23:53	TechnoBommel	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe es mir jetzt sehr einfach gemacht.... Gegeben: A, B stochastisch unabhängig $\begin{eqnarray} <br /> P(A\| B) = P(A) & \|(-1)<br /> \\\Rightarrow -P(A\|B) = -P(A) & \|+1 <br /> \\\Rightarrow 1-P(A\| B) = 1-P(A)<br /> \\\Rightarrow P(A^c\|B) = P(A^c) \end{eqnarray*}$ Das ist nach einem Satz unserer Vorlesung wieder gleichbedeutend mit A und B komplement sind stochastisch unabhängig. Irgendwo einen Denkfehler?
15.05.2010, 12:34	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Sofern ihr die Eigenschaft $\begin{eqnarray} 1-P(A\|B) = P(A^c\|B) \end{eqnarray}$ schon bewiesen habt und dann verwenden dürft, geht das in Ordnung.
15.05.2010, 13:09	Mudolf	Auf diesen Beitrag antworten »
es geht auch so: wenn du zeigen willst dass das komplement von A und B unabhängig sind: $\begin{eqnarray} P(A^{c}\cap B)=P(B)-P(A\cap B) \end{eqnarray}$ weiter $\begin{eqnarray} \frac{P(A^{c}\cap B) }{P(B)} =1- \frac{P(A\cap B) }{P(B)} =1-P(A)=P(A^{c}) \end{eqnarray}$

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