Folgenkonvergenz Integralsnorm

14.05.2010, 19:45

Nerto

Folgenkonvergenz Integralsnorm

Aufgabe:
Seien $\begin{eqnarray*} a < b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C ([a,b], \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ der Vektorraum aller stetigen Funktionen $\begin{eqnarray*} f :[a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .
Wir definieren die Funktion $\begin{eqnarray*} || ||_1 : C ([a,b], \mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} ||f_1||_1 = \int_a^b |f(x)| dx \end{eqnarray*}$ .

Seien $\begin{eqnarray*} (f_n)_n \end{eqnarray*}$ eine Folge von Punkten aus $\begin{eqnarray*} C ([a,b], \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ d.h eine Folgen von stetigen Funktion $\begin{eqnarray*} f_n [a,b] \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ heißt Cauchy folgen falls in den normierten Vektoraum $\begin{eqnarray*} C ([a,b], \mathbb{R}), || ||_1 \end{eqnarray*}$ wenn gilt
$\begin{eqnarray*} (\forall \epsilon > 0) (\exists N \in \mathbb{N}) (\forall m,n > N) ( || f_n - f_m ||_1 < \epsilon ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (f_n)_n \end{eqnarray*}$ heißt konvergent in $\begin{eqnarray*} C ([a,b], \mathbb{R}), ||_1 \end{eqnarray*}$ mit den Grenzwert $\begin{eqnarray*} f \in C ([a,b], \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ wenn gilt
$\begin{eqnarray*} (\forall \epsilon > 0) (\exists N \in \mathbb{N}) (\forall n > N) ( || f_n - f ||_1 < \epsilon ) \end{eqnarray*}$

Finden sie eine Cauchyfolge in $\begin{eqnarray*} C ([a,b], \mathbb{R}), ||_1 \end{eqnarray*}$ die nicht konvergiert .

Ideen

Also ich hab mir folgendes bisher überlegt ich brauche ein Folge von stetigen Funktionen, die gegen eine unstetige Funktion konvergiert.
Denn diese würden ein Cauchyfolge darstellen, aber es gibt kein $\begin{eqnarray*} f \in C ([a,b], \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ ,da dort nur stetige Funktionen vorkommen.
d.h heißt ich brauch ein punktweise konvergent Funktion mit zwei Grenzwerte.
Die Funktion muss sich aber mehr als an einen Punkt unterscheiden, oder ?
Sind meine Überlegung bisher richtig?

Ps: Wie mach ich schön Normen in Latex

14.05.2010, 21:41

Mazze

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Zitat:

Die Funktion muss sich aber mehr als an einen Punkt unterscheiden, oder ?

Nein, wieso auch? Sobald die Funktionen auch nur an einem Punkt unterschiedlich sind, sind sie nicht gleich.

Zitat:

d.h heißt ich brauch ein punktweise konvergent Funktion mit zwei Grenzwerte.

Ja, das Funktioniert.

Zitat:

Sind meine Überlegung bisher richtig?

Im Prinzip ja. In solchen Beispielen baut man sich gerne etwas der Art

$\begin{eqnarray*} f_n(x) = x^n \end{eqnarray*}$

zurecht. Diese Funktion machts noch nicht, aber Du kannst sie so manipulieren das sie ein Beispiel wird. Um dir darüber klarer zu werden betrachte die Funktionenfolge auf [0,1] und lass sie dir für verschiedene n plotten.

15.05.2010, 15:24

Nerto

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erfüllt
$\begin{eqnarray*} f_n(x) = (n+1)x^n \end{eqnarray*}$ die Bedingung oder?

15.05.2010, 16:45

Mazze

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Nein, der Trick ist das die Funktion $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ egal wie groß n ist, stets an der Stelle 1 den Funktionswert 1 ergibt. Auf [0,1] ist $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ bereits ein entsprechendes Beispiel, daher solltest Du dir die Funktion mal für verschiedene n anzeigen lassen um eine Idee für die 2 möglichen Grenzfunktionen zu bekommen. Für allgemeines [a,b] musst Du nur noch umskalieren.

15.05.2010, 17:54

Mazze

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Zitat:

Ach ich hab was vergessen die Funktion muss nur im $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ sein. sorry Aber bei $\begin{eqnarray*} f_n(x)= x^n \end{eqnarray*}$ konvertiert das Integral doch? oder seh ich das falsch? meine erste Überlegung war ein Grenzfunktion von der art $\begin{eqnarray*} f(n)=\begin{cases} 1/2, & \text{wenn } \left| x \right| \leq 0,5\\ 1, & \text{wenn }\left| x \right| >0,5 \end{cases} \end{eqnarray*}$

edit : Habe mich beim editieren vertan.

15.05.2010, 17:56

Mazze

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Das Integral soll auch konvergieren, vor allem für zwei verschiedene Funktionen. Betrachten wir sie nochmal auf [0,1] :

n = 2

n = 4

n = 20

Wie könnten hier wohl 2 mögliche Grenzfunktionen aussehen? Wie man eine Funktion von [0,1] nach [-1,1] umskaliert sollte dir ja bekannt sein.

15.05.2010, 21:15

Nerto

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$\begin{eqnarray*} f(n)=\begin{cases} 1, & \text{wenn } x = 1\\ 0, & \text{wenn }x \in [0,1) \end{cases} \end{eqnarray*}$

aber das Problem i für mich ist, dass ich doch zeigen kann das die Funktion bzgl. dieser Norm doch gegen Null konvergiert oder nicht?

15.05.2010, 22:37

Mazze

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Ja, das ist eine Grenzfunktion, die andere ist $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Für die Konvergenz musst Du zeigen das :

$\begin{eqnarray*} \|f_n - f\| \to 0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} \|f_n\| \to 0 \end{eqnarray*}$

Allerdings musst Du die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ noch anpassen so das

$\begin{eqnarray*} f_n(-1) = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_n(1) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Das ist aber Schulmathe.

15.05.2010, 23:24

Nerto

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also du willst zeigen das $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ gegen diese funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konvertiert damit hat man gezeigt das es keine stetige funktion die gegen $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ konvertiert oder?

bzw ich soll doch ein cauchyfolge finden, die nicht konvergiert , aber diese Funktionsfolge konvergiert doch verwirrt

16.05.2010, 09:04

Mazze

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Zitat:

bzw ich soll doch ein cauchyfolge finden, die nicht konvergiert , aber diese Funktionsfolge konvergiert doch verwirrt

Und wo gegen? Wenn eine Folge konvergiert, so ist der Grenzwert eindeutig. Dieser hier ist es nicht.

16.05.2010, 11:48

Nerto

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aber es gilt doch

$\begin{eqnarray*} \| (\frac{x+1}{2} )^n -1 \| = \int^1_{-1} |\frac{x+1}{2} )^n - 1| =\int^1_{-1} |-(\frac{x+1}{2} )^n + 1 | \leq =\int^1_{-1} |\frac{x+1}{2}|^n + \int^1_{-1} 1= \frac{1}{n+1} + 2 > \epsilon \end{eqnarray*}$

16.05.2010, 12:17

Mazze

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Wie kommst Du denn bitte auf

$\begin{eqnarray*} \| (\frac{x+1}{2} )^n -1 \| \end{eqnarray*}$

?

1 ist doch keine Grenzfunktion. Es ist klar das da nichts Sinnvolles rauskommt.

16.05.2010, 12:21

Nerto

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Was ist den die Zweite Grenzfunktion neben $\begin{eqnarray*} f(x) = 0 \end{eqnarray*}$ ich seh da nicht -.-

sry ich kann mit der Aufgaben nichts anfangen unglücklich

16.05.2010, 12:21

Mazze

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Ich zitiere mal deinen eigenen Post :

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} 1, & \text{wenn } x = 1\\ 0, & \text{wenn }x \in [0,1) \end{cases} \end{eqnarray*}$

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