Matrix: Index und Signatur berechnen

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Klaus-Jürgen Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix: Index und Signatur berechnen
Hallo Leute,

ich soll von einer symmetrischen 4 x 4 Matrix Signatur und Index ausrechen.
Leider ist es bei so einer großen Matrix total aufwändig, die Eigenwerte rauszubekommen.

Gibt's da für Signatur und Index irgendeinen Trick oder Umweg?
Hab irgendwo gelesen, dass man die Matrix auf Diagonalform bringen soll ... dann liesse sich scheinbar etwas ablesen, aber ich hab das nicht genau verstanden.

Vielen Dank für eure Hilfe!

Klaus-Jürgen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

ROFL 4x4 als so große Matrix zu bezeichnen. (sorry Mit Zunge )

Das mit der Dreicksmatrix würde nur gehen, wenn du Ähnlichkeitstransformationen benutzt. Dann ist das char, Poly die einfachere Variante. Augenzwinkern

Die Sache ist hier ja nur, dass wir uns nur für die Vorzeichen der EW interessieren. Stichwort: Trägheitssatz von Sylvester.

Kannst du die Matrix mal zeigen?
Klaus-Jürgen Auf diesen Beitrag antworten »

Also in meiner Lineare Algebra II - Welt sind 4 x 4 Matrizen doch sehr groß ... jedenfalls wenn ich mit ihnen rechnen muss :-).

Okay, ich kann mir also sparen, die Eigenwerte zu berechnen?!

Du weist auf den Trägheitssatz hin; bedeutet das also, ich finde eine Matrix und biege mir damit die Matrix so hin, dass , wobei D auf der Diagonalen nur 1, -1 und 0 hat, wobei die Anzahl der 1 die Signatur, die Anzahl der -1, abgezogen von der Signatur den Index ergeben und die Anzahl der Nullen eben die Anzahl aller EW == 0 ist? Doch wie finde ich eine solche Matrix? Leider steht das nirgends im Skript und auch der Gerd Fischer verzichtet in seinem Buch auf eine Beschreibung des Verfahrens. Im Internet finde ich nur Wege, bei denen ich dann eben doch die Eigenwerte wissen muss.

Wäre nett, wenn du mir weiterhilfst! Danke!
Klaus-Jürgen Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, die Matrix ist natürlich:

Klaus-Jürgen Auf diesen Beitrag antworten »

Genügt es, die Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Dreiecksform zu bringen und sich dann auf der Diagonalen nur die Vorzeichen der Elemente anzuschauen?

Ich erhalte nach ZUFs:



Also sage ich: ich habe zwei positive Vorzeichen --> Signatur = # pos. EW = 2;
ein negatives VZ --> Index = 1; ein VZ == 0; dim V_0 = 1;

Arndt Bruenners Rechner liefert mir als Eigenwerte: reelle Eigenwerte:
{-4; 0; 4; 4}, also von der Anzahl her genau so, wie ich oben argumentiere. Kann das stimmen?

Wäre ja lustig ;-)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Klar, für die Rechnung von Hand sind 4x4 schon groß. Augenzwinkern Maple:

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
A:=matrix(4,4,[1,3,-1,1,3,1,1,-1,-1,1,1,3,1,-1,3,1]);
                          [ 1     3    -1     1]
                          [                    ]
                          [ 3     1     1    -1]
                     A := [                    ]
                          [-1     1     1     3]
                          [                    ]
                          [ 1    -1     3     1]

> R2 := linalg[eigenvals](A);

                          R2 := 0, -4, 4, 4


Hier hätte es sich sogar gelohnt, dass char, Poly auszurechnen, da so schöne EW rauskommen. Damit ließe sich die Aufgabe zumindestens abgeben. Ob das nun der geschickteste Weg ist. verwirrt

code:
1:
2:
3:
4:
5:
R1 := linalg[charpoly](A,CM_Global('x'));
                          4       3        2
                  R1 := x2  - 4 x2  - 16 x2  + 64 x2


x ausklammern und die Teiler von 16 ausprobieren. Was ist ZUFs? Zeilenumformungen?

Der klassische Gauß geht nicht. Weil wir da ja immer eine 1 auf der Diagonalen erzeugen. Das verändert sicherlich die Signatur/Index. Ähnlich sind die Matrizen i.A. sowieso nicht, was aber noch nicht tragisch wäre, solange die Vorzeichen erhalten bleiben.

ich hatte dich nach der Matrix gefragt, weil (wir wissen ja, wegen Symmetrisch) dass wir nur reelle Eigenwerte haben, dass wir Glück haben und Gerschgorinkreise günstig liegen. Ist hier nicht so, die Matrix liefert nur einen Kreis, mit negativen und positiven Elementen.

Zitat:
Hab irgendwo gelesen, dass man die Matrix auf Diagonalform bringen soll ... dann liesse sich scheinbar etwas ablesen, aber ich hab das nicht genau verstanden.


Hast du da eine Quelle? Die Signatur ist mir persönlich nur beim Algorithmus Schneiden des Spektrums begegnet. Ggf. Ging das da aber nur für Tridiagonalmatrizen.

matlab, lu-Zerlegung mit Pivotisierung:

code:
1:
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3:
4:
5:
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7:
8:
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19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
[L,U,P]=lu(A)

L =

   1.00000000000000                  0                  0                  0
   0.33333333333333   1.00000000000000                  0                  0
  -0.33333333333333   0.50000000000000   1.00000000000000                  0
   0.33333333333333  -0.50000000000000   1.00000000000000   1.00000000000000


U =

   3.00000000000000   1.00000000000000   1.00000000000000  -1.00000000000000
                  0   2.66666666666667  -1.33333333333333   1.33333333333333
                  0                  0   2.00000000000000   2.00000000000000
                  0                  0                  0                  0


P =

     0     1     0     0
     1     0     0     0
     0     0     1     0
     0     0     0     1


Vielleicht hat wer anderes den gesuchten Beweis zu Hand. Eine Frage, die sich lohnen würde. Augenzwinkern
 
 
Klaus-Jürgen Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Mühe, Tigerbine ... die schönen Eigenwerte habe ich mit dem Arndt Bruenner auch schon rausbekommen, aber als ich angefangen hab, das charak. Polynom selbst zu berechnen, da wurde mir fast übel ... aber ich muss wohl in den sauren Apfel beissen und das so "zu Fuß" machen.

Mein Skript quillt über von Sätzen aber darauf lässt sich keiner richtig anwenden. Wie sieht es mit dem Finden einer Matrix S aus, s. d. S^tAS Diagonalgestalt mit den Eigenwerten auf der Diagonalen hat? Oder ist das noch komplizierter? Dann ließe sich darauf doch wenigstens der Trägheitssatz anwenden, oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hehe, für diese Matrizen brauchst du die EW und die EV. Also viel komplizierter. Der Satz ist meist eher wichtig, dass es solche Matrizen gibt und man dann in theoretischen Rechnungen was schönes dastehen hat.

det machst du mit Laplace. Lästig ja, aber machbar. Augenzwinkern Weißt ja nun auch schon, was rauskommt.
Klaus-Jürgen Auf diesen Beitrag antworten »

Ach klar, ich bin ja doof. Hammer Das S^tAS Diagonalgestalt hat ist ja dasselbe als das ich A diagonalisiere, und S hat als Spalten die Eigenvektoren. Okay, das ist dann ja nochmal eins drauf :-). Ich dachte nur, es gäbe eine elegantere Lösung als über das charak. Polynom - das hab ich schon 1294mal berechnet und ich denke, damit ist doch das Lehrziel schon erreicht, das ich weiss, was das ist und wie das geht smile

Ja, ich würde die Determinante eh mit LaPlace berechnen ... ich weiss ja, was rauskommen muss, von dem her ist es nur noch Fleißarbeit! Freude

Vielen Dank Tigerbine, für deine Hilfe. Gäbe es euch Leute vom Matheboard nicht, dann wäre ich sicher schon verzweifelt!

Danke! Mit Zunge
Klaus-Jürgen Auf diesen Beitrag antworten »
eins noch!
Eine Sache noch:

Wenn meine Matrix nun lautet , dann bedeutet das doch, dass von jedem der Faktor rausgezogen wurde (weil meine Matrix ja 4 x 4 ist) und dann eben das so vor die Matrix geschrieben wurde.

Wie ändert sich dadurch meine Signatur/meine Eigenwerte? Muss ich nun das lästige wieder reinziehen bzw. wenn ich berechnen will, ein vor meine s schreiben?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: eins noch!
???



Dann sind die Einträge in A viermal so groß wie die in B. Zu der ersten Aufgabe, melde dich doch bitte nach eurer Korrektur. Vieleicht gibt es ja doch einen einfacheren Weg und wir können alle profitieren. Danke.
Klaus-Jürgen Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, werde ich machen.
Bin grad ziemlich verwirrt.

Vor meiner Matrix, die ich hier als A angegeben habe, stand eben noch ein 1/4 davor, das ich im Eifer des Gefechts übersehen habe. Nun frage ich mich, ob das relevant ist für meine Signatur oder eher nicht.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das kannst du selbst überlegen. Wenn ein EV von A ist mit Ev v. Dann gilt



Was ist dann

Klaus-Jürgen Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich melde mich nun nach der Korrektur wieder.
Es war wirklich gefordert, die Eigenwerte zu berechnen. Scheinbar geht's nicht einfacher.
Danke nochmal für eure Hilfe!

Lg, Klaus-Jürgen
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dass du dich rückmeldest. Freude
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