Umkehrfunktion bestimmen

15.05.2010, 09:38

einervonvielen

Umkehrfunktion bestimmen

Gegeben sei: $\begin{eqnarray*} f(x) = x + e^x \end{eqnarray*}$ . Es existiert eine Umkehrfunktion g. Gesucht sind: $\begin{eqnarray*} g(1), g'(1), g''(1) \end{eqnarray*}$ .

Vorgehensweise:

Aus $\begin{eqnarray*} y = f(x) \end{eqnarray*}$ soll $\begin{eqnarray*} x = g(y) \end{eqnarray*}$ werden.

Für ein anderes, einfacheres Beispiel:

$\begin{eqnarray*} h(x) = x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \pm \sqrt{y} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} h^{-1}(x) = \pm \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

So, wie funktioniert das nun aber für das Beispiel oben? Da kann man nicht einfach so "nach x umstellen".

15.05.2010, 10:07

Rmn

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RE: Umkehrfunktion bestimmen
So einfach gehts nicht, es gibt keine Darstellung in Form der elementaren Funktion, wie es bei Umkehrung von h(x) mit Wurzel der Fall ist.
Ableitungen kannst du aber mit der Umkehrregel finden.

15.05.2010, 10:35

einervonvielen

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RE: Umkehrfunktion bestimmen

Zitat:

Original von Rmn
So einfach gehts nicht, es gibt keine Darstellung in Form der elementaren Funktion, wie es bei Umkehrung von h(x) mit Wurzel der Fall ist.

Das habe ich gemerkt. :/

Zitat:

Original von Rmn
Ableitungen kannst du aber mit der Umkehrregel finden.

Du meinst über $\begin{eqnarray*} (f^{-1}){'(x)} = \frac{1}{f'(x)} \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} f(x) = x + e^x \end{eqnarray*}$ kann ich natürlich einfach ableiten:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 + e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x) = e^x \end{eqnarray*}$

Dann wären also:

$\begin{eqnarray*} g'(1) = \frac{1}{1 + e} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g''(1) = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Mein Gefühl sagt mir, das ist Unsinn.

Und irgendwie muss man auch an $\begin{eqnarray*} g(1) \end{eqnarray*}$ kommen.

15.05.2010, 10:39

einervonvielen

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RE: Umkehrfunktion bestimmen

Zitat:

Original von einervonvielen
$\begin{eqnarray*} g''(1) = \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

Hier sehe ich selber schon, dass das Unsinn ist. Da hätte ich natürlich die Quotientenregel anwenden müssen. Wenn $\begin{eqnarray*} g'(1) \end{eqnarray*}$ denn überhaupt stimmt.

15.05.2010, 10:40

Evelyn89

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die umkehrfunktion wird anders abgeleitet. die regel, die du hingeschrieben hast ist so leider falsch. guck nochmal nach. du hast da nämlich was wichtiges vergessen smile

15.05.2010, 22:58

einervonvielen

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Hoppala. Die Regel müsste lauten:

$\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(x)= \frac{1}{f'((f^{-1})(x))} \end{eqnarray*}$

Stellt sich nur die Frage, wie mich das weiterbringt. Wenn g die Umkehrfunktion von f ist, ist g die Umkehrfunktion von f. Also kann ich sagen:

$\begin{eqnarray*} (f^{-1})(x) = x + e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(x) = 1 + e^x \end{eqnarray*}$

Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} x + e^x = \frac{1}{f'(1 + e^x)} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f'(1 + e^x) = \frac{1}{x + e^x} \end{eqnarray*}$

Und weiter? Das Argument muss 1, nicht $\begin{eqnarray*} 1 + e^x \end{eqnarray*}$ lauten.

16.05.2010, 10:43

Rmn

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Mh schreib mal Formel für f und g um, denn du hast gerde "g" als "f" genannt und daher durcheinander gekommen.

17.05.2010, 00:43

einervonvielen

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Zitat:

Original von Rmn
Mh schreib mal Formel für f und g um, denn du hast gerde "g" als "f" genannt und daher durcheinander gekommen.

Das habe ich gemacht, weil ich anders herum noch weniger weit komme, denn ich kenne weder $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , noch $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} g'(x) = \frac{1}{1+e^{g(x)}} \end{eqnarray*}$

Im Nenner ist die Umkehrfunktion das Argument in der Ableitung von f. Das müsste so stimmen. Bzw. ist ja $\begin{eqnarray*} g'(1) \end{eqnarray*}$ gesucht, also:

$\begin{eqnarray*} g'(1) = \frac{1}{1+e^{g(1)}} \end{eqnarray*}$

Und was ist nun $\begin{eqnarray*} g(1) \end{eqnarray*}$ ?

17.05.2010, 23:22

einervonvielen

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Keiner? :(

17.05.2010, 23:36

Rmn

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ah komm

Was muss man denn für x einsetzen damit x+exp(x)=1 ist?

18.05.2010, 02:15

einervonvielen

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