Tangente an Schnittkurve zweier Fllächen

15.05.2010, 09:09

DOZ ZOLE

Tangente an Schnittkurve zweier Fllächen

Hi,
ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Zitat:

Seien zwei Flächen gegeben durch

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{x^2+y^2}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x,y)=2\sqrt{1-\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{4} } \end{eqnarray*}$

Für duie Schnittkurve soll im Punkt $\begin{eqnarray*} P_0=(1,1,1) \end{eqnarray*}$ die Gleichung der Tangente bestimmt werden.
Hinweis:Bestimmen sie zunächst die Gleichungen der Tangentialebenen in diesem Punkt

Für die Tangentialebene kenne ich nun folgende Formel:

$\begin{eqnarray*} t_{\left[f,(x_0,y_0)\right]}=f(x_0,y_0)+f'(x_0,y_0)\begin{pmatrix} x-x_0 \\ y-y_0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nur die kann ich ja nun nicht nutzen da ich einen punkt aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ gegeben habe aber diese formel nur für punkte aus dem $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ funktioniert.
wie kann ich da sonst rangehen?

MfG
DOZ ZOLE

16.05.2010, 10:43

Abakus

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RE: Tangente an Schnittkurve zweier Fllächen
Hallo!

Deine Formel kannst du benutzen, der Punkt ist einfach (1, 1). Die dritte Eins ist der Funktionswert gewesen.

Grüße Abakus smile

16.05.2010, 12:27

DOZ ZOLE

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ok ich habe jetzt die tangentialebenen bestimmt und komme auf:

Tangentialebene an f: $\begin{eqnarray*} z=x+y-1 \end{eqnarray*}$

Tangentialebene an g: $\begin{eqnarray*} z=4-2x-y \end{eqnarray*}$

wie hilft mir das nun weiter bei der tangente an der schnittkurve der beiden flächen?

16.05.2010, 12:56

Abakus

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
wie hilft mir das nun weiter bei der tangente an der schnittkurve der beiden flächen?

Was sagt dir dein geometrisches Vorstellungsvermögen, wo die gesuchte Tangente liegen müsste?

Grüße Abakus smile

16.05.2010, 13:03

DOZ ZOLE

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naja ich würde jetzt mal vermuten das die tangente an der schnittkurve in beiden tangentialebenen enthalten is sprich die schnittgerade der beiden ebenen is. also

$\begin{eqnarray*} x+y-1=4-2x-y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2} \end{eqnarray*}$

war das jetzt schon alles?

16.05.2010, 13:08

Abakus

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Ja, würde ich auch so rechnen. Jetzt brauchst du allerdings noch die Gleichung der Schnittgeraden, bisher hast du nur eine Bedingung an x und y.

Grüße Abakus smile

16.05.2010, 14:40

DOZ ZOLE

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wieso brauch ich noch ne gleichung der schnittgeraden? ich soll doch nur die tangente an der schnittkurve im punkt $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ finden. wie könnte man denn die gleichung der schnittkurve finden?

16.05.2010, 16:03

Abakus

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
wieso brauch ich noch ne gleichung der schnittgeraden? ich soll doch nur die tangente an der schnittkurve im punkt $\begin{eqnarray*} P_0 \end{eqnarray*}$ finden. wie könnte man denn die gleichung der schnittkurve finden?

Das meine ich ja: du musst noch die Gleichung der gesuchten Tangente finden: denke mal an solche Sache wie Punkt-Richtungsform etc.

Grüße Abakus smile

16.05.2010, 18:04

DOZ ZOLE

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naja die punkt richtungsform brauch ich ja um ne gerade im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ zu beschreiben. aber ich meine wie mach ich aus der gerade die ich da berechnet hab eine tangente im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

17.05.2010, 15:38

DOZ ZOLE

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hab heute noch ne idee gehabt... könnte ich nicht das kreuzprodukt von den beiden normalenvektoren berechnen um so nen richtungsvektor der gesucheten tangente zu erhalten?

18.05.2010, 16:02

Abakus

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Kannst du, viele Wege führen nach Rom. Es geht aber einfacher, indem du deine gewonnene Gleichung benutzt .

Grüße Abakus smile

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