Eigenwert einer 4X4 Matrix

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15.05.2010, 11:26	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwert einer 4X4 Matrix Hi Leute, ich soll von folgender Matrix den Eigenwert berechnen: $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 5 & 1\\ -1 & -1 & -1 & 3\\ 5 & 1 & 1 & 1 \\-1 & 3 & -1 & -1 \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Es gilt: $\begin{eqnarray} det(A-\lambda E)=0 \end{eqnarray}$ Entwicklung nach $\begin{eqnarray} a_{1,1} \end{eqnarray}$ bringt mich zu $\begin{eqnarray} \lambda ^4-9\lambda ^2+24\lambda -16 \end{eqnarray}$ Nun müsste ich mit Polynomdivision weiterrechnen, nur fehlt mir ein geeigneter Teiler. Gibt es evtl. ein Programm, wo ich den ermittlen kann, oder gibt es überhaupt eine andere Art und Weise um an den Eigenwert der Matrix zu kommen. Mir fiele, speziell in meinen Fall, nur noch die Entwicklung nach einer anderen Zeile/ Spalte ein, um weiterzukommen. Gruß
15.05.2010, 11:50	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Determinante mit Hilfe des Entwicklungssatzes zu lösen ist recht umständlich. Eine alternative wäre die Matrix auf obere Dreiecksform zu bringen, denn dann ist die Determinante gerade das Produkt der Diagonalelemente. (Etwaige Änderungen durch Zeilenumformungen sind natürlich zu berücksichtigen). Oder nimm den Computer, der dir die EW/EV direkt ausrechnen kann. Genauso um das Polynom zu lösen. Wenn du schon die Nullstellen per Hand ausrechnen willst, warum auch immer, lass dir das Polynom plotten und hoffe, dass eine NSt. 'günstig' liegt. Oder nimm das Newton-Verfahren um eine Nullstelle zu errechnen. Wobei da auch was reelles rauskommen kann, was dann eine weitere PD nicht mehr ganz so schön machen würde.
15.05.2010, 11:51	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst die Lösungen erstmal versuchen zu raten, denn, wenn sie ganzzahlig sind, dann sind sie bei dir ein Teiler von 16 (einschließlich +-1).
15.05.2010, 12:00	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ihr beiden! Warum von Hand? Weil unser Prof. das in der Aufgabenstellung so vorgab, kotz... @Rmn Das mit dem Raten ist nicht so einfach, da habe ich mich schon dran versucht. Ganzzahlig ist hier nicht so schnell etwas zu finden... Ich versuche mich erstmal an der Dreiecksform, vielleicht bringt mich das weiter...
15.05.2010, 12:09	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung x=1 sieht man mit bloßem Auge, andere wäre z.B. -4
15.05.2010, 12:14	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Boah, voll Lambda^4 übersehen , hast natürlich recht... Jetzt klappt es auch mit der P-Division. Danke
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15.05.2010, 13:19	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
So, die Eigenwerte sind: $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2,3,4}=1,-4,4,-1 \end{eqnarray}$ Weiterhin soll ich deren Ordnung und Vielfachheit und jeweils eine Basis für die zugehörigen Eigenräume der Matrizen herausfinden. In meinem Skript steht:" Ist $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ eine s-fache Nullstelle des char. Polynoms, so heißt s die Ordnung des Eigenwertes. Ich habe hier 4 EINFACHE Nullstellen, somit müsste die Ordnung 1 sein, richtig? Weiterhin steht da, dass für die Vielfachheit r des Eigenwertes $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ gelte: $\begin{eqnarray} 1\leq r\leq s \end{eqnarray}$ Somit müsste die Vielfachheit 1 sein, oder?
15.05.2010, 13:37	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
MH deine Eigenwerte sind falsch, -1 haut zb überhaupt nicht hin
15.05.2010, 13:54	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann schreibe ich mal meinen Rechenweg hin, dann kannste sehen, wo mein Fehler liegt. Also, wir hatten schon herausgefunden, dass $\begin{eqnarray} \lambda ^4-9\lambda ^2+24\lambda -16 \end{eqnarray}$ war. Oder anders $\begin{eqnarray} (1-\lambda )(\lambda ^3+\lambda ^2-8\lambda +16) \end{eqnarray}$ Somit habe ich aus $\begin{eqnarray} (1-\lambda ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda _1=1 \end{eqnarray}$ Mittels Polynomdivision: $\begin{eqnarray} \lambda ^3+\lambda ^2-8\lambda +16:\lambda+4=-\lambda^2+3\lambda-4 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda _2=-4 \end{eqnarray}$ Ich erhalte eine P/Q-Formel, bei der die übrigen $\begin{eqnarray} \lambda's \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lambda _3=4\wedge \lambda_4=-1 \end{eqnarray}$ sind Ich seh gerade, dass mein 4,-1 nicht sein kann. Ich hab in der P/Q-Formel einen Vorzeichendreher drin. Also kommen nur Lambda 1,2 in Betracht...
15.05.2010, 14:07	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, pq-Formel $\begin{eqnarray} x = \frac32+\frac12i\sqrt 7 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x = \frac32-\frac12i\sqrt 7 \end{eqnarray}$ aso komplex:/ EIDT: Ich bin von einem char. Poly ausgegeangen. Nun habe ich Matrix eingetippt und bekomme: $\begin{eqnarray} 256+\lambda^4-32\lambda^2 \end{eqnarray*}$ Eigenwerte: 4, 4, -4, -4
15.05.2010, 14:12	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Jo, irgendwas in der Richtung habe mir schon gedacht. Soweit sind wir im Skript noch nicht. Sind denn meine anderen Lösungen (Ordnung, Vielfachheit) richtig?
15.05.2010, 14:14	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Gute Nachrichten: Sie sind doch nicht komplex Schlechte Nachricht: Ich bin von deinem char. Poly ausgegeangen. Nun habe ich Matrix selbst eingetippt und bekomme: $\begin{eqnarray} 256+\lambda^4-32\lambda^2 \end{eqnarray*}$ Eigenwerte: 4, 4, -4, -4
15.05.2010, 14:36	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann in lang: Entwicklung nach a(1,1) ergibt: $\begin{eqnarray} (1-\lambda )\begin{vmatrix} -1-\lambda & -1 & 3 \\ 1 & 1-\lambda & 1 \\ 3 & -1 & -1-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ Nach Sarrus ergibt das : $\begin{eqnarray} (1-\lambda) [(-1-\lambda )(1-\lambda )(-1-\lambda)-6-(9-9\lambda+1+\lambda+1+\lambda] \end{eqnarray}$ Zusammengefasst: $\begin{eqnarray} (1-\lambda) [1+\lambda-\lambda^2-\lambda^3-6-9+7\lambda-2] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1-\lambda)(-16+8\lambda-\lambda^2-\lambda^3) \end{eqnarray}$ EDIT: Ich habe die Matrix auch mal eingetippert, hast recht. Nur wo liegt hier der Denk-/Rechenfehler?
15.05.2010, 15:59	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
Dieser Rechung nach würde es heißen, dass a(1,1) IMMER Eigenwert einer beliebigen Matrix ist Das ist aber Unsinn. Es fehlern weitere Entwicklungsterme, denn man entwicklet ja nach einer ganzen Zeile oder Spalte, nicht nach einem einzigen Element.
15.05.2010, 17:15	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heißt mit anderen Worten, ich entwickle eine ganze Zeile oder Spalte und addiere die Ergebnisse ?
15.05.2010, 17:23	Rmn	Auf diesen Beitrag antworten »
So, wie du es mit a(1,1) gemacht hast, nur jetzt mit a(1,2), dann a(1,3) und a(1,4). Dabei muss du das Vorzeichen entsprechnd berücksichtigen. Dann alles addieren, ja. Das Vorzeichen ist (-1)^(Zeileindex+Spalteindex)
15.05.2010, 18:54	Dalice66	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, Vorzeichen war bekannt... Den ganzen Klimbim mal gerechnet, komme ich auf die $\begin{eqnarray} 256+\lambda^4-32\lambda^2 \end{eqnarray}$ Ist ja eine Mordsarbeit Ok, zurück zu den Eigenwerten und deren Ordnung... Wenn keine doppelte Nullstelle bei einem Lambda ist, dann ist die Ordnung doch 1, oder? Da $\begin{eqnarray} 1\leq r\leq s \end{eqnarray*}$ gilt, müsste die Vielfachheit dann auch 1 sein, oder?

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