poisson verteilung

15.05.2010, 12:15

Mudolf

poisson verteilung

hallo ich soll eine aufgabe zur poissonverteilung lösen:

ausgangspunkt ist folgender: (K=unendlich)
$\begin{eqnarray*} P(irrelevant)=\sum\limits_{n=k}^K e^{-\lambda }\frac{\lambda ^{n} }{n!} \begin{pmatrix} n \\ k\end{pmatrix} p^{k} (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

ich soll zeigen, dass das ganze eine poissonverteilung zum parameter $\begin{eqnarray*} p\lambda \end{eqnarray*}$

ich hab jetzt ein wenig umgeformt und bin so weit:
$\begin{eqnarray*} \frac{p^{k} }{(1-p)^{k} } ~~\frac{e^{-\lambda } }{k!} ~~~~\sum\limits_{n=k}^K \frac{1}{(n-k)!} (\lambda -\lambda p)^{n} \end{eqnarray*}$

ich komm jetzt nciht mehr weiter und vor allem krieg ich nicht das hin, was dort stehen soll....

15.05.2010, 12:18

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Bist du sicher, dass da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=k}^K \end{eqnarray*}$ steht?

Sollte da ncht doch eher $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=k}^{\infty} \end{eqnarray*}$ stehen?

EDIT: Ok, steht ja dabei. Augenzwinkern

Aber besser gleich das richtige LaTeX verwenden, hilft solche Missverständnisse zu vermeiden.

Mach eine Indexverschiebung in der Art, dass du die einschlägig bekannte Exponentialreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\mu^j}{j!} = e^{\mu} \end{eqnarray*}$

für ein geeignet gewähltes $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ nutzen kannst.

15.05.2010, 12:20

Mudolf

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ja, ich weiss nicht wie man unendlich als symbol schreibt, deswegen habe ich oben K=unendlich geschrieben

15.05.2010, 12:23

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Ja, hab's mittlerweile auch mitgekriegt, siehe EDIT.

15.05.2010, 12:28

Mudolf

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kurze frage, wenn ich jetzt e^(-lambda)

in eine expreihe umforme muss ich komplett neue indexe nehmen? also alles auser k und n?

15.05.2010, 12:31

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Der Tipp war nicht so gedacht, dass du das vorhandene $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ in eine Reihe umwandelst. unglücklich

Sondern umgekehrt, dass du die vorhandene Reihe (durch Indexverschiebung sowie passendes Herausziehen von Faktoren) in einen Exponentialausdruck umwandelst!!!

15.05.2010, 12:35

Mudolf

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wie siehts damit aus:
$\begin{eqnarray*} \frac{p^{k} }{(1-p)^{k} } ~~\frac{1 }{k!} e^{-\lambda } ~~~~(\lambda -\lambda p)^{k} ~~~~\sum\limits_{n=k}^K \frac{(\lambda -\lambda p)^{n-k} }{(n-k)!} \end{eqnarray*}$

15.05.2010, 12:36

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Das sieht schon mal sehr gut aus. Nur noch die Indexverschiebung, und dann hier und da was kürzen und vereinfachen.

15.05.2010, 12:39

Mudolf

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ok so:
$\begin{eqnarray*} \frac{p^{k} }{(1-p)^{k} } ~~\frac{1 }{k!} e^{-\lambda p} \end{eqnarray*}$

aber was ich dastehen haben will ist doch:
$\begin{eqnarray*} \lambda p^{n} \frac{1}{n!} e^{-\lambda p} \end{eqnarray*}$

15.05.2010, 12:57

Mudolf

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indexverschiebung höre ich zum ersten mal, darf ich meine exp reihe nicht jetzt einfach als e-zahl darstellen, muss da noch ein zwischenschritt rein?

15.05.2010, 13:05

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Wenn du es auch so erkennst, dann ist es gut. Aber i.a. ist es von der Argumentation transparenter, wenn man diese Indexverschiebung $\begin{eqnarray*} j=n-k \end{eqnarray*}$ in einem Zwischenschritt aufschreibt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=k}^{\infty} \frac{(\lambda -\lambda p)^{n-k}}{(n-k)!} = \sum\limits_{j=0}^{\infty} \frac{(\lambda -\lambda p)^j}{j!} = e^{\lambda -\lambda p} \end{eqnarray*}$

P.S.: Und es wäre schön, wenn du den Hinweis mit dem \infty statt K nicht so beständig missachten würdest. Oder brichst du dir da ein Bein ab?

15.05.2010, 13:12

Mudolf

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ich werde es demnächst beachten Augenzwinkern

aber jetzt fehlt der letzte schritt, wie komm ich zum ergebnis?

15.05.2010, 13:15

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Tja, du hast nicht richtig eingesetzt bzw. umgewandelt - überprüfe nochmal jeden Schritt.

Und das erwünschte Endergebnis ist nicht

Zitat:

Original von Mudolf
$\begin{eqnarray*} \lambda p^{n} \frac{1}{n!} e^{-\lambda p} \end{eqnarray*}$

sondern

$\begin{eqnarray*} (\lambda p)^k \frac{1}{k!} e^{-\lambda p} \end{eqnarray*}$ .

15.05.2010, 13:32

Mudolf

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yepa, fehler gefunden! und alles steht da! dank dir vielmals, hast mir super geholfen!!!!

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