Stetigkeit

15.05.2010, 14:25	jimmy_01	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit Meine Frage: Hallo zusammen ... Meine Problem: Untersuchen Sie, in welchen Punkten die folgenden Funktionen stetig sind: 1) $\begin{eqnarray} f:\mathbb R\Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ Mit: $\begin{eqnarray} 1-x², \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} x\in Q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x²-1, \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ nicht $\begin{eqnarray} \in Q \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Bei solchen Aufgaben ist es ja normalerweise üblich den Limes an den Intervallgrenzen zu bilden, um dort auf Stetigkeit zu prüfen. Denn innerhalb der Intervalle sind sie i.d.R. ja stetig. Bei dieser Aufgabe erweist sich dies aber als schwierig, denn von Intervallen ist hier keine Spur, zwischen zwei benachbarten Elementen aus Q liegen doch Elemente aus R ... D.h. hätte ich zahllose Limites zu überprüfen?! Das muss doch irgendwie einfacher gehen? help
15.05.2010, 17:05	jimmy_01	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit Keiner eine Idee? Ein klitzekleiner Hinweis? ein Mini-Tipp ...
16.05.2010, 14:29	jimmy_01	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetigkeit Eine mögliche Lösung wäre, dass die Funktion über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ \ $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ (R ohne Q) stetig ist ... Begründung: Q liegt nicht so dicht wie R auf dem Zahlenstrahl. Deshalb liegen zwischen zwei benachbarten Punkten aus Q unendlich viele Punkte aus R. Nur in diesen "Zwischenräumen" ist die Funktion in jedem Punkt stetig. P.S. Kann man das mathemtisch schöner aufschreiben? Bitte um Hilfe ^^"
16.05.2010, 14:50	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke dein letzter Post macht klar: wir müssen uns erst einmal da hin arbeiten. Betrachte erst einmal eine andere Funktion (Dirichlet-Funktion): $\begin{eqnarray} D(x)=\begin{cases} 1 & x\in\mathbb{Q}\\ 0 & x\in\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}\end{cases} \end{eqnarray}$ Diese Funktion "oszilliert unendlich stark". Zeige mit epsilon-delta: die Funktion ist an keiner Stelle stetig (denn sie springt immer zwischen 0 und 1 hin und her). Wenn du das bewiesen und verstanden hast, betrachte die von mir skizzierte Funktion im Anhang. Wo ist der Unterschied zu der Dirichlet-Funktion, wo sind die Gemeinsamkeiten, an welchen Stellen könnte sie stetig sein?
16.05.2010, 15:55	jimmy_01	Auf diesen Beitrag antworten »
Def. der Stetigkeit: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0\exists \delta>0: \|x-x_{0}\|<\delta\Rightarrow \|f(x)-f(x_{0}\| <\epsilon \end{eqnarray}$ So weit, so gut ... Aber dann hakt es bei mir leider, auch mein Skript aus der Vorlesung erzeugt bei mir nur Fragezeichen. In Worten würde ich sagen: In jeder Epsilon-Umgebung von x Element Q liegen irrationale Zahlen, d.h. unstetig. Gilt gleiches für R\Q oder liegen unendlich viele Elemente aus R zwischen zweien aus Q?! Analog zu ursprünglichen Aufgabe und zu deiner kleinen Grafik würde ich sagen: Die Funktion ist in -1 und 1 stetig, da die links/rechts-Grenzwerte existieren. Sonst unstetig.
16.05.2010, 16:23	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Um zu verstehen wieso das alles ist, ist es wichtig, die Unstetigkeit der Dirichlet-Funktion zu verstehen. Sei $\begin{eqnarray} x_0 \in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ Für jedes irrationale $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ gibt es eine Folge rationaler Zahlen, die dagegen konvergiert (Definition von Q dicht in R!) also $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|<\delta \end{eqnarray}$ für rationales x für alle delta>0 erreichbar. Sei $\begin{eqnarray} \varepsilon = \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ dann ... mach mal weiter.
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