Fibonacci Folge

15.05.2010, 14:50

Physinetz

Fibonacci Folge

Hallo,

habe so einen ähnlichen Thread schon gefunden, komme aber iwie nicht weiter:

Folge von Fibonacci Zahlen ist durch $\begin{eqnarray*} a_0=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_1=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a_{n+1}=a_n+a_{n-1} \end{eqnarray*}$ für n Element der natürlichen Zahlen definiert.

Zeigen Sie, dass für den Konvergenzradius der Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rho\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gilt.

Also wie man den Konvergenzradius bestimmt ist mir im Prinzip klar, nur fehlt mir hier dann eben für die Fibonacci Zahlen die passende Potenzreihe, damit ich diesen bestimmen kann. Habt ihr mir einen Tipp`?

Danke schonmal

Es grüßt Physi Freude

15.05.2010, 14:57

Physinetz

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Es gibt da ja eine explizite Formel die ich gerade im Board bei nochmaligem Suchen gefunden habe:

$\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n \right),\qquad n\geq 1 \end{eqnarray*}$

Kann ich darauf dann das Quotientenkriterium anwenden, um so den Konvergenzradius zu bestimmen?

15.05.2010, 15:08

Mystic

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Ja.

15.05.2010, 15:17

tmo

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Die relativ offensichtliche Tatsache $\begin{eqnarray*} a_n \leq 2^n \end{eqnarray*}$ würde schon ausreichen.

15.05.2010, 15:21

Mystic

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Zitat:

Original von tmo
Die relativ offensichtliche Tatsache $\begin{eqnarray*} a_n \leq 2^n \end{eqnarray*}$ würde schon ausreichen.

Ja, allerdings nur in Hinblick auf die ursprüngliche Fragestellung, Physinetz hat aber bereits ehrgeizigere Pläne... Augenzwinkern

15.05.2010, 16:53

Physinetz

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Zitat:

Original von tmo
Die relativ offensichtliche Tatsache $\begin{eqnarray*} a_n \leq 2^n \end{eqnarray*}$ würde schon ausreichen.

So offensichtlich ist die mir auch nicht :-D

15.05.2010, 17:23

tmo

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Dann schau mal genauer hin Augenzwinkern

Die Folge ist monoton steigend, also ist $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = a_n + a_{n-1} \leq a_n+a_n=2a_n \end{eqnarray*}$

D.h. das Wachstum dieser Folge ist höchstens so groß wie das von $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ . Nun fangen beide Folgen mit dem selben Startwert für n=0 an.

16.05.2010, 13:07

Physinetz

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Was wäre da denn bei der expliziten Formel mein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ , welches ich in das Quotienten bzw. Wurzelkriterium reinpacken kann?
Wohl nicht nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{5} } \end{eqnarray*}$ ?

17.05.2010, 18:30

Physinetz

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Hat mir jemand einen Tipp?

Beste Grüße Physinetz

17.05.2010, 18:35

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Physinetz
Hat mir jemand einen Tipp?

Beste Grüße Physinetz

Guckst Du hier: matheboard.de/thread.php?threadid=17581

17.05.2010, 18:41

Physinetz

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Zitat:

Zitat: Original von Physinetz Hat mir jemand einen Tipp? Beste Grüße Physinetz Guckst Du hier: matheboard.de/thread.php?threadid=17581

Hab ich ja schon "geguckt".

Ich will es ja über die explizite Form nun machen ( die andere Art, die du mir erklärt hast, check ich nicht so ganz wie man da weitermacht, weiß nicht was man für F_k+1 z.B einsetzt) .

Bei der expliziten Form benötige ich ja ein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ um es in das Wurzel bzw. Quotientenkriterium einsetzen zu können, was wäre das denn dann?

Vielleicht könntest du mir in beiden Fällen helfen, da mich auch deine Variante interessiert, gruß

17.05.2010, 19:48

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Physinetz

Zitat:

Zitat: Original von Physinetz Hat mir jemand einen Tipp? Beste Grüße Physinetz Guckst Du hier: matheboard.de/thread.php?threadid=17581

Steht doch alles da - musste doch nur noch 'n bisschen selber überlegen...

Und wenn's dennoch haken sollte, dann musst Du schon verraten wo.

Zitat:

Original von Physinetz
Bei der expliziten Form benötige ich ja ein $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ um es in das Wurzel bzw. Quotientenkriterium einsetzen zu können, was wäre das denn dann?

Genau das beantwortest Du mit Deinem eigenen Beitrag oben vom 15.05.2010 14:57!

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