Gradient bei Wurzeln und Brüchen

29.10.2006, 16:49

Michi86

Gradient bei Wurzeln und Brüchen

Ich kann den Gradienten von einer Funktion f(x,y) berechnen, wenn die Funktion ein Produkt oder eine Summe ist. Wie geht das, wenn z.B. eine Summe in einer Wurzel steht oder ein Quotient wie (x²y³+x²y)/(x+y) gegeben ist. Für Beispiele bin ich dankbar!

29.10.2006, 16:51

Calvin

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RE: Gradient bei Wurzeln und Brüchen
Das geht analog. Leite zuerst nach x ab und lasse y konstant. Danach leite nach y ab und lasse x konstant. Benutze zum Ableiten die Kettenregel bzw. Quotientenregel.

29.10.2006, 16:58

Michi86

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RE: Gradient bei Wurzeln und Brüchen
Kannst es mir nicht mal vorrechnen ich bin mir da doch unsicher hab von dem Gradienten bis heute nix gehört.
Also den gegebenen Bruch und z. B. den Gradienten von (x²y+y²)^0,5/2x

29.10.2006, 17:09

Calvin

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Hä? Wenn die Funktion aus Summen oder Produkten besteht, kannst du den Gradienten berechnen, aber von dem Gradienten hast du bis heute nichts gehört? verwirrt

Der Gradient einer Funktion f(x,y) ist

$\begin{eqnarray*} \textbf{grad }f=\begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x} \\ \frac{\partial f}{\partial y} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hast du mal bitte eine Aufgabe, bei der es dir gelungen ist?

Mit deinen Beispielen hier geht es ganz genauso. Lediglich die Ableitungen sind ein bißchen aufwändiger.

Du hast die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{\sqrt{x^2y+y^2}}{2x} \end{eqnarray*}$ . Wie ist dein Ansatz, wenn du diese nach x ableiten sollst? Denke daran, dass y konstant bleibt.

29.10.2006, 17:30

Michi86

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Sorry für meine Schreibweise, bin mit dem Formeleditor nicht vertraut.
Ich habe die Wurzel als "hoch 1/2" aufgefasst.

Zähler: (x(2xy+y²)^-1/2)-2Z
wobei Z der ursprüngliche Zähler ist

Nenner: 4x²

29.10.2006, 17:37

Calvin

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Es wäre nett, wenn du es auch mal mit dem Formeleditor probieren würdest. Brüche machst du mit

code:
1:	\frac{zaehler}{nenner}

Die Wurzel geht mit

code:
1:	\sqrt{x}

Hochzahlen mit

code:
1:	x^{hochzahl}

Und dann das ganze noch zwischen

code:
1:	[latex] [/latex]

setzen.

Du hast also folgende Lösung für die Ableitung nach x: $\begin{eqnarray*} \frac{x(2xy+y^2)^{-1/2}-2(x^2y+y^2)^{1/2}}{4x^2} \end{eqnarray*}$

Das ist fast richtig. Du hast bei der Ableitung von $\begin{eqnarray*} (x^2y+y^2)^{1/2} \end{eqnarray*}$ die innere Ableitung vergessen. Denke an die Kettenregel.

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