Diffentialgleichung mit Anfangsbedingungen |
| 15.05.2010, 18:17 | MichaKölle | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Diffentialgleichung mit Anfangsbedingungen Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Eine der folgenden Di erenzialgleichungen hat keine eindeutige Losung in der Nähe ihres Startwerts. Welche? a) y' = x² +1 mit y(0) = 0 b) y' = x² +1 mit y(0) = 2 c) y' = Abs(y) ^ (4/5) mit y(0) = 0 d) y' = Abs(y) ^ (4/5) mit y(0) = 2 e) y' = Abs(y)^(3/2) mit y(0) = 0 Meine Ideen: Eigentlich is das ganze ja nicht zu schwer, ich hab die DGLs separiert und gelöst. a) und b) schließe ich aus, da man ja mit 1/3 x^3 + x + C ja so ziemlich jede Anfangsbedingung lösen kann. Aus "Multiple Choice"-Logik sollte es ja dann entweder c) oder d) sein, allerdings sind die für mich dank Separation irgendwie auch lösbar, e) auch. Mach ich irgendwas falsch? Besten Dank und Grüsse, Micha |
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| 15.05.2010, 19:43 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es geht doch nicht darum eine Lösung zu finden, sondern eine eindeutige Lösung. D.h. wenn du bei a),b) Lösungen hast, folgt daraus keineswegs, dass es eine eindeutige Lösung ist. Ihr hattet doch sicher irgendwelche Sätze, die etwas über (eindeutige) Lösbarkeit aussagen? |
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| 16.05.2010, 12:43 | MischaKöln | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da es eine DGL erster Ordnung ist, gibt es ja nur eine Konstante zu bestimmen, die durch eine Anfangsbedingung geklärt werden kann, also gibt es doch immer eine exakte Lösung, falls die Anfangsbedingng machbar ist. |
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| 16.05.2010, 12:45 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hattet ihr schon einmal den Begriff "Satz von Picard-Lindelöf"? |
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| 16.05.2010, 12:57 | MischaKöln | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, hab ich noch nicht gehört |
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| 16.05.2010, 13:08 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
oder Existenz- und Eindeutigkeitssatz (mithilfe von Stetigkeit und Lipschitzstetigkeit)? |
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| 16.05.2010, 13:11 | MischaKöln | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weder noch, ich kann nur die Differentialgleichung lösen und schauen ob man die Anfangsbedingung einsetzen kann, was anderes ist mir unbekannt. |
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| 16.05.2010, 13:16 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, es kann eben verschiedene Lösungen geben. Die Konstante hat mit der Eindeutigkeit überhaupt nichts zu tun. Beispiel: Um nur mal zwei Lösungen zu nennen: Aber wenn du die von Duedi angesprochenen Sätze alle (angeblich) nicht kennst, wird's wohl schwierig... Edit: Im Rahmen welcher Vorlesung sollst du die Aufgabe denn lösen? Bzw. was studierst du? |
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| 16.05.2010, 13:17 | Duedi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber ihr müsst doch irgendeine Art von Eindeutigkeitsbedingung gehabt haben. |
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| 16.05.2010, 13:25 | MischaKöln | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich studier Maschinenbau, Vorlesung ist Analysis II. Als ich die Aufgabe gelesen habe, hab ich eben nur diese Möglichkeit der Lösung gesehen, ich wüsste nicht, wie es ansonsten gehen kann.. |
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| 16.05.2010, 13:49 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es reicht aber eben nicht, wenn du sagst "Ich sehe es nicht." - Manche Lösung sieht man nicht mal so auf die Schnelle. Was hattet ihr denn für Aussagen über DGL 1. Ordnung? (Also zu Lösbarkeit, Eindeutigkeit, Existenz, ...) Ansonsten: Du schriebst ja, dass du für e) eine Lösung hast. Wie sieht die denn aus? |
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| 16.05.2010, 15:00 | MischaKöln | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dy / dx = y ^ 3/2 y ^ 2/3 dy = dx 3/5 * y ^ 5/3 = x + c y ^ 5/3 = 5/3 ( x + c) y = (5/3 (x + c))^3/5 |
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| 16.05.2010, 19:05 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, nehmen wir mal an, dass das stimmt. (Den Absolutbetrag hast du irgendwie ignoriert, aber ist auch erstmal nicht so dramatisch.) Würde dir denn zu der DGL eine andere (triviale Lösung) einfallen? |
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| 16.05.2010, 20:11 | MischaKöln | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das was du geschrieben hast, dass y(x) = 0 ja auch irgendwie die Anfangsbedingung löst, ist mir auch aufgefallen, allerdings gilt das doch auch für den Fall hoch 4/5, was wäre dann da der Unterschied, wenn es das ist? |
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| 16.05.2010, 20:16 | saz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, weiß ich auch nicht. Eigentlich gibt's da keinen. Wahrscheinlich bloß eine dämliche Aufgabenstellung... |
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| 16.05.2010, 20:17 | MischaKöln | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was würdest du mir dann "empfehlen" zu wählen? Am Mittwoch weiß ich dann die Antworten, wenn die Lösungen veröffentlicht werden.. |
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