Projektion auf eine Ebene

16.05.2010, 13:16

Dito

Projektion auf eine Ebene

Hallo zusammen...habe nochmal eine Frage wegen der Projektion eines Vektors auf eine gegebene Ebene:

Zitat:

Bestimmen Sie die Matrixdarstellung P des Operators, der jeden Vektor in die Ebene 2x + y - 2z = 0 projiziert. Zerlegen Sie dazu die Einheitsvektoreni , j und k in Komponenten parallel und senkrecht zum Normalenvektor der Ebene. Wie wirkt P auf diese Komponenten?

Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, wie ich da vorgehen muss. Ich weiß, dass der Normalenvektor der Ebene $\begin{eqnarray*} \vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist. Dieser beschreibt meine Projektionsrichtung. Die Einheitsvektoren habe ich folgendermaßen zerlegt.
$\begin{eqnarray*} \vec{e_1}_{||\vec{n}} = \frac{2}{9} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{e_1}_{\perp \vec{n}} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{e_2}_{||\vec{n}} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{e_2}_{\perp \vec{n}} = \frac{2}{9} \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vec{e_3}_{||\vec{n}} = -\frac{2}{9} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}, \vec{e_2}_{\perp \vec{n}} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 5\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kann ich jetzt weitermachen und meine Projektionsmatrix aufstellen? unglücklich

Vielen Dank im Voraus =)

edit: ich kann ja ein paar vermutungen anstellen. Also die senkrechte Komoonente der Einheitsvektoren fällt weg. die parallele Komponente wird abgebildet. Das heißt ich weiß, wie meine Einheitsvektoren nachher auszusehen haben. Also P*e = y. Aber wie kann ich jetzt meine Matrix explizit bestimmen?

16.05.2010, 14:25

Elvis

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Tipp : In den Spalten einer Abbildungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren.
Mit deiner fleißigen Vorarbeit bist du nahezu fertig.

Deine Vermutungen musst du nochmal überdenken. Was genau fällt weg und was bleibt übrig ?

16.05.2010, 14:29

Dito

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achso klar ich berechne die parallelen komponenten wobei parallel bedeutet parallel zum normalenvektor und damit fällt genau dieser teil weg

das heißt ich schreibe ienfach die senkrechten komponenten in die matrix und bin fertig? ^.^

16.05.2010, 14:33

Elvis

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genau

Die zum Normalenvektor senkrechten Komponenten der Basisvektoren sind die Bilder der Basisvektoren unter der Projektion P längs des Normalenvektors. Sie stehen in den Spalten der zu P gehörigen Matrix.

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