kniffelige Ungleichung mit zwei Variablen beweisen

16.05.2010, 14:37

NikkiPanda

kniffelige Ungleichung mit zwei Variablen beweisen

Meine Frage:
Hallo,

ich habe hier eine sehr kniffelige Aufgabe, in der eine Ungleichung mit zwei Variablen bewiesen werden soll:

$\begin{eqnarray*} \beta ( \alpha + 1 ) \leq \frac{5}{3} \beta ^ 2 + \frac{1}{3} \alpha ^2 \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \alpha , \beta \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Als Ansatz hierfür habe ich bis jetzt Induktion gewählt. Zuerst halte ich eine Variable fest und mache eine Induktion über die andere Variable.

Der I.A. ist kein Problem (die natürlichen Zahlen beinhalten hier nicht die 0), dann jedoch der I.S:

Sei $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest. Induktion über $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .

Der Ansatz führt nach einigen Rechenschritten zu der Ungleichung $\begin{eqnarray*} \beta \leq \frac{2}{3} \alpha + \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . Da hier jedoch $\begin{eqnarray*} \alpha , \beta \end{eqnarray*}$ nicht in Relation zueinander gesetzt werden können habe ich eine Fallunterscheidung gemacht.

Im Falle $\begin{eqnarray*} \alpha < \beta \end{eqnarray*}$ kommt jedoch ein Widerspruch heraus, da muss nämlich:
$\begin{eqnarray*} \beta \leq \frac{2}{3}\alpha + \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ gelten. Es folgt: $\begin{eqnarray*} \beta < \beta \end{eqnarray*}$ .
Was direkt zu Kopfschmerzen und Ratlosigkeit meinerseits führt.

Kann es sein, dass die Ungleichung eine ganz berühmte Ungleichung ist?

16.05.2010, 14:58

tmo

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Setze mal so an (ganz ohne Induktion):

$\begin{eqnarray*} 5\beta^2+\alpha^2 = \beta^2 + 4\beta^2+\alpha^2 \geq \beta^2+4\alpha\beta = ... \geq ... \end{eqnarray*}$

16.05.2010, 15:49

NikkiPanda

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Danke tmo für die schnelle Antwort -

mir bleibt da noch ein Kloß im Hals stecken:

wie zeigt man, dass $\begin{eqnarray*} 4 \beta ^2 + \alpha^2 \geq 4\alpha\beta \end{eqnarray*}$ gilt??

wenn die Faktoren 4 nicht dabei stünden wäre es klar -
auch für den Fall $\begin{eqnarray*} \beta > \alpha \end{eqnarray*}$ ist es klar. aber was, wenn $\begin{eqnarray*} \alpha > \beta \end{eqnarray*}$ gilt?

16.05.2010, 15:51

tmo

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Bringe doch einfach mal $\begin{eqnarray*} 4\alpha\beta \end{eqnarray*}$ auf die linke Seite und verschließe die Augen nicht vor der binomischen Formel.

16.05.2010, 16:36

NikkiPanda

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Vielen Dank tmo!

Hab's endlich hinbekommen...

Respekt, dass du das gesehen hast!

16.05.2010, 16:41

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Zitat:

Original von NikkiPanda
Hab's endlich hinbekommen...

Den gesamten Beweis der Ausgangsungleichung? Her damit! Augenzwinkern

19.05.2010, 11:10

NikkiPanda

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okay - also ich fange an, wie tmo das geschrieben hat und zeige die erste ungleichung dann danach:

$\begin{eqnarray*} 5 \beta ^2 + \alpha ^2 = \beta ^2 + 4 \beta ^2 + \alpha ^2 \overset{(*)}{\geq} \beta ^2 + 4 \beta \alpha = \beta ( 4 \alpha + \beta) = \beta ( 3\alpha + \alpha + \beta) \overset{\alpha + \beta \text{ } \geq 3}{ \geq} \beta (3 \alpha + 3) = 3 \beta (\alpha + 1) \Leftrightarrow \frac{5 \beta ^2 + \alpha ^2}{3} \geq \beta (\alpha + 1) \end{eqnarray*}$

Es bleibt (*) zu zeigen und die restlichen Fälle $\begin{eqnarray*} \alpha + \beta < 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(*): } \beta ^2 + 4 \beta ^2 + \alpha ^2 \geq \beta ^2 + 4 \beta \alpha \Leftrightarrow 4 \beta ^2 + \alpha ^2 \geq 4 \beta \alpha \Leftrightarrow (2 \beta) ^2 - 2 * (2\beta) *\alpha + \alpha ^2 \geq 0 \Leftrightarrow ( (2 \beta) - \alpha ) ^2 \geq 0 \text{ (wahr), da} \forall x \in \mathbb Z \text{:} x^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Zum Schluss bleiben noch $\begin{eqnarray*} \alpha + \beta < 3 \end{eqnarray*}$ .

(1) $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = 0 \Leftrightarrow 0 \leq 0 \text{(wahr) } \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \wedge \beta = 0\Leftrightarrow 0 \leq \frac{1}{3} \text{(wahr)} \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \wedge \beta = 1\Leftrightarrow 1 \leq \frac{5}{3} \text{(wahr)} \end{eqnarray*}$

(4) $\begin{eqnarray*} \alpha = \beta = 1\Leftrightarrow 2 \leq \frac{5+1}{3} \text{(wahr) } q.e.d \end{eqnarray*}$

Danke nochmal für die Hilfe!

19.05.2010, 11:47

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Sieht im großen und ganzen gut aus, aber die Fallunterscheidung am Schluss ist unvollständig: Es fehlen die Fälle $\begin{eqnarray*} \alpha=0,\beta=2 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \alpha=2,\beta=0 \end{eqnarray*}$ .

Ich hätte eine andere (nichtdisjunkte, aber vollständige) Fallunterscheidung gewählt:

(1) $\begin{eqnarray*} \alpha=0 \end{eqnarray*}$ : Wahr wegen $\begin{eqnarray*} \beta \leq \beta^2 \leq \frac{5}{3}\beta^2 \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} \beta=0 \end{eqnarray*}$ : Wahr wegen $\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{1}{3}\alpha^2 \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} \alpha=\beta=1 \end{eqnarray*}$ : Wahr (siehe dein (4)).

19.05.2010, 11:54

NikkiPanda

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hmpf..... immer kurz vor der Ziellinie fehlt noch ein kleines bisschen - danke für den Hinweis Arthur

19.05.2010, 12:29

tmo

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RE: kniffelige Ungleichung mit zwei Variablen beweisen
Die Aufgabe wurde ja schon gelöst, aber mich macht das hier stutzig:

Zitat:

Original von NikkiPanda
Der I.A. ist kein Problem (die natürlichen Zahlen beinhalten hier nicht die 0), dann jedoch der I.S:

Später betrachtest du dann Fälle wie $\begin{eqnarray*} \alpha =0 \end{eqnarray*}$ .

Ist die 0 jetzt drin oder nicht?

Für die Lösung der Aufgabe ist es natürlich egal, da dann nur überschaubar viele Fälle dazukommen.

21.05.2010, 20:43

NikkiPanda

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@tmo:

hatte am Anfang einen kleinen Denkfehler - dachte mit 0 klappt die Ungleichung nicht und hab deswegen 0 aus den natürlichen Zahlen ausgeschlossen.

Beim sauber aufschreiben hab ich aber den Fehler gemerkt und hab die 0 noch mit reingenommen - hatte aber keinen besonderen Grund...

Danke nochmal für die schnelle antwort tmo smile

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