Tschebyschew und Normalverteilung |
| 16.05.2010, 14:47 | dummy001 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Tschebyschew und Normalverteilung ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe: Die Zufallsgröße X hat den Erwartungswert E = 10 und die Varianz V = 9. a) Geben Sie eine Abschätzung für P(|X - 4| >= 6) an. b) Berechnen Sie die Warhscheinlichkeit P(|X - 10| >= 6) falls die Zufallsgröße normalverteilt ist. Also zu a) Das ist einfach die Anwendung die Tschebyschew'schen Ungleichung P(|X - 10| >= 6) >= 9/6² = 0,25 Bei b) habe ich dann wie folgt gerechnet: P(|X - 10| >= 6) = 1 - P(|X - 10| < 6) = 1 - P(4 < X < 16) = 1 - P(X < 16) + P(X >= 4) = 1 - P(X < 16) + 1 - P(X <= 4) = 2 - P(X < 16) - P(X <= 4) Jetzt transformiere ich mit Z = (X-10)/3 = 2 - P(Z < 2) - P(Z <= -2) = 2 - PHI(2) - PHI(-2) = 2 - PHI(2) - (1 - PHI(2)) = 2 - PHI(2) - 1 + PHI(2) = 1 ?????????? Das kann nun wohl nicht stimmen ... aber ich finde meinen Rechenfehler einfach nicht! Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Grüße |
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| 16.05.2010, 15:09 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dieser lSchritt ist falsch, richtig wäre hier . |
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| 16.05.2010, 17:13 | dummy001 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke!!!! Also, dann lautet die Rechnung jetzt hoffentlich richtig: P(|X - 10| >= 6) = 1 - P(|X - 10| < 6) = 1 - P(4 < X < 16) = 1 - P(X < 16) + P(X <= 4) Jetzt transformiere ich mit Z = (X-10)/3 = 1 - P(Z < 2) + P(Z <= -2) = 1 - P(Z < 2) + 1 - P(Z <= 2) = 2 * (1 - PHI(2)) = 2 * (1 - 0.9722) = 0.0556 Heißt das, dass man durch die zusätzliche Information "normalverteilt" jetzt 5 mal genauer abschätzen kann (5,6% statt 25%)? Oder hab ich mich schon wieder verrechnet? |
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| 16.05.2010, 17:18 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verrechnet nicht, aber verschrieben:
Das Ungleichheitszeichen ist in der anderen Richtung: Du musst die Tschebyschew-Ungleichung als das begreifen, was sie ist: Eine Ungleichung, keine Gleichung! Ich weiß, dass in der Schule gern vermittelt wird, als könnte man damit solche Wahrscheinlichkeiten berechnen, aber das ist eben nicht der Fall, sondern nur nach oben abschätzen. |
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| 16.05.2010, 21:42 | dummy001 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das habe ich jetzt verstanden. Danke! Vielleicht führt das jetzt etwas weit. Aber gibt es denn irgendwelche Indikatoren, mit denen man einschätzen / abschätzen kann wie gut die Ungleichung von Tschebyschew im jeweiligen Fall ist? Grüße |
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