Konvergenzradius und Summenfunktion Berechnen

16.05.2010, 14:54

monchi

Konvergenzradius und Summenfunktion Berechnen

Hi!

Ich soll zu folgender Reihe den Konvergenzradius und falls der ex. (!= 0) dann soll ich die Summenfunktion angeben:

Die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^n 2^{-n}*x^{2n} \end{eqnarray*}$

Das hab ich wie folgt umgestellt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^n \frac{1}{ 2^{n}} *(x^{2})^{n} \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} y = x^2 \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann:

B: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^n \frac{1}{ 2^{n}} *(y)^{n} \end{eqnarray*}$

Das "Wurzelkriterium" liefert mit dann 2 als Konvergenzkreis für B
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{1}{ 2^{n}}} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt{y} => \end{eqnarray*}$ Konvergenzkreis für die Ausgangsfunktion ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ?

Steige gerade erst in das Thema ein und hab keine Ahnung ob das methodisch überhaupt so geht. Könnte bitte mal jemand mit Ahnung drüberschauen?

Dankeschön!

Kleiner Nachtrag:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^n \left(\frac{n^{n}}{n!}+\frac{(sin (n))^{2} }{(2n)^{n}} \right)*x^{n} \end{eqnarray*}$

macht es hier einen Unterschied, ob der Index bei 1 oder 0 Startet?

16.05.2010, 15:26

Abakus

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RE: Konvergenzradius und Summenfunktion Berechnen
Hallo!

Ja, ich denke, das kannst du so machen. Die Summenfunktion fehlt noch (-> geom. Reihe).

Dein Index kann natürlich nicht bei 0 anfangen, wenn du da durch 0 teilst oder problematische Ausdrücke mit 0 drin hast.

Grüße Abakus smile

edit: Text

16.05.2010, 16:06

monchi

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1) ok war nen blödes beispiel (Frage mit dem Index).

Die Frage war eher allgemein gemeint. Hier ein anderes Beispiel: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^n \left(\frac{x^2}{1+x} \right)^{n} \end{eqnarray*}$

Für die Berechnung des Konvergenzkreises ist das nicht entscheidend, wo der Index beginnt, wenn ich das richtig verstanden habe. Für die Berechnung der Summenfunktion hingegen schon oder?

2) Berechnung der Summenfunktion von

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^n 2^{-n}*x^{2n} \end{eqnarray*}$

hm geometrische Reihe, sagst du? Steh hier gerade einwenig auf dem Schlauch. Haste vlt noch einen Tip für mich?

16.05.2010, 17:24

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Zitat:

Original von monchi
Hier ein anderes Beispiel: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^n \left(\frac{x^2}{1+x} \right)^{n} \end{eqnarray*}$

Hier kann man von vornherein gar nicht von einem "Konvergenzkreis" sprechen, da das gar keine Potenzreihe in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist. Das vorsichtigere "Konvergenzbereich" wäre hier zunächst eher angebracht.

16.05.2010, 17:51

Abakus

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Zitat:

Original von monchi
2) Berechnung der Summenfunktion von

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^n 2^{-n}*x^{2n} \end{eqnarray*}$

hm geometrische Reihe, sagst du? Steh hier gerade einwenig auf dem Schlauch. Haste vlt noch einen Tip für mich?

$\begin{eqnarray*} 2^{-n}*x^{2n} = (\frac{x^2}{2})^n \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

16.05.2010, 18:41

monchi

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herzlichen Dank euch beiden Wink

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