Bereichsintegral einer Ellipse

16.05.2010, 15:30

Thorsten757

Bereichsintegral einer Ellipse

Hallo,

ich habe hier wieder eine ähnliche Aufgabe wie zuvor.

Es ist das Bereichsintegral
$\begin{eqnarray*} I=\iint_B \! f(x,y) \, dA \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=e^{-\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2}}{b^{2}} } \end{eqnarray*}$ über den Bereich B, der durch die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}\leq 1 | \end{eqnarray*}$ beschrieben ist zu berechnen.

Es ist eine geeignete Parametrisierung des Integrals zu wählen und der Integrationsbereich ist zu skizzieren.

Ich habe folgendes berechnet:

für die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=e^{-r} \end{eqnarray*}$

für den Bereich mit der Jacobi-Determinante:

$\begin{eqnarray*} J=abr \end{eqnarray*}$ hier bin ich mir nicht sicher weil der Bereich im Betrag steht

$\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq phi\leq 2\pi \end{eqnarray*}$

ist das soweit in Ordnung?

16.05.2010, 15:46

Abakus

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RE: Bereichsintegral einer Ellipse
Hallo!

Die Beträge um die ganze Ungleichung passen nicht. Und deine Parametrisierung gib bitte erstmal an (ich kenne sie zwar von der letzten Aufgabe, aber die kennt nicht jeder Augenzwinkern

).

Ansonsten schreib einfach deine komplette Rechnung auf.

Grüße Abakus smile

16.05.2010, 16:10

Thorsten757

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mit diesen Parametern habe ich gerechnet:

$\begin{eqnarray*} x=ar*cos(phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=br*sin(phi) \end{eqnarray*}$

anscheinend stimmen die hier nicht, aber wie müßte es sein?

16.05.2010, 18:08

Abakus

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Zitat:

Original von Thorsten757
mit diesen Parametern habe ich gerechnet:

$\begin{eqnarray*} x=ar*cos(phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=br*sin(phi) \end{eqnarray*}$

OK, das stimmt schon, du bist auf dem richtigen Weg. Ich möchte von dir lediglich einmal eine vollständige Rechnung und Argumentation sehen, nicht eine Sache da, dann ein Sprung zum Schluss und dann wieder zurück.

Rechne es einfach schön durch und gib alle Schritte und Begründungen an: dann sehen wir, wo noch Probleme stecken.

Grüße Abakus smile

17.05.2010, 10:50

Thorsten757

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Es ist $\begin{eqnarray*} I=\iint_B \! f(x,y) \, dA \end{eqnarray*}$ der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=e^{-\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2}}{b^{2}} } \end{eqnarray*}$ über den Bereich B, der durch die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2}\leq 1 | \end{eqnarray*}$ beschrieben ist zu berechnen.

Parametrisierung in Zylinderkoordianten wegen elliptischer Form:

$\begin{eqnarray*} x=r*cos(phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=r*sin(phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=z \end{eqnarray*}$

wegen Abhängigkeit von a und b:

$\begin{eqnarray*} x=ar*cos(phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=br*sin(phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r^2=x^2+y^2 \end{eqnarray*}$

für die Jacobideterminante der Transformation:

$\begin{eqnarray*} J=\begin{vmatrix} a*cos(phi) & b*sin(phi) \\ -a*r*sin(phi) & b*r*cos(phi) \end{vmatrix} =abr \end{eqnarray*}$

für die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x,y)=e^{-\frac{x^{2} }{a^{2} } -\frac{y^{2}}{b^{2}} } \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} e^{-r^2} \end{eqnarray*}$

Integrationsbereich:

$\begin{eqnarray*} 0\leq r\leq 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0\leq phi\leq 2\pi \end{eqnarray*}$

weil es eine geschlossene Ellipse mit dem Radius <= 1 ist

Flächenelement:

dA= r*d(r)*d(phi)

19.05.2010, 20:35

Thorsten757

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ist bis hier irgendwo ein Fehler bzw. wie gehts weiter?

20.05.2010, 00:07

Abakus

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Jetzt ist das Integral auszurechnen, soweit sieht es ok aus.

Vom Ausdruck her: eine Ellipse hat keinen Durchmesser, sondern 2 Halbachsen.

Grüße Abakus smile

20.05.2010, 13:00

Thorsten757

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$\begin{eqnarray*} I=\iint_B \! f( \phi,r) \, dA \end{eqnarray*}$

also dann so ?

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_0^1\int_0^{2\pi } \! abr \;e^{-r^{2} } \, d \phi \; dr \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =ab\pi \left(e-1\right) \;e^{-1 } \end{eqnarray*}$

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