Harmonische Funktion

16.05.2010, 17:42

axiom_09

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Harmonische Funktion

Hallo, ich habe hier eine Aufgabe bei der ich mithilfe der Nabla-Notation oder Laplace-Operator beweisen muss, dass die Funktion f harmonisch ist. Nur das ist das erste Mal bei mir, dass ich mich mit dieser Art von Notationen auseinandersetzen muss und deshalb leider nicht weiss, wie ich hier vorzugehen hab.

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R^n \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ heisst harmonisch, falls der Laplace-Operator Null liefert $\begin{eqnarray*} \Delta f := div grad f = 0 \end{eqnarray*}$ .
Alternativ in der Nabla-Notation auch darstellbar (leider weiss ich nicht wie ich das Symbol für Gradient und Skalarmultiplikation darstellen soll).
Des Weiteren bezeichne r den Abstand von $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R^n zu 0 \in \mathbb R^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r : \mathbb R^n \to \mathbb R, r(x) = || x || \end{eqnarray*}$

Beweise

a) für $\begin{eqnarray*} n = 3 gilt : f(x) = \frac{1}{r} \end{eqnarray*}$ harmonisch.

b) für $\begin{eqnarray*} n = 2 gilt : g(x) = ln(r) \end{eqnarray*}$ harmonisch.

MfG
axiom_09

16.05.2010, 18:17

Abakus

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RE: Harmonische Funktion
Hallo!

Schreib das Ganze in den Koordinaten x, y, und z hin und rechne es dann aus.

Wenn du den Laplace-Operator in Polarkoordinaten bereits kennst, dann nehme ggf. den.

Grüße Abakus smile

smile

16.05.2010, 18:32

axiom_09

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RE: Harmonische Funktion
Hallo, könntest du deinen Ansatz mal kurz dokumentieren, damit ich eine etwaige Vorstellung bekomme?

Grüße
axiom_09

16.05.2010, 19:40

Abakus

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RE: Harmonische Funktion
ZB:

$\begin{eqnarray*} g(\chi) = g(x, y) = ln (\sqrt{x^2 + y^2}) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \Delta g(x, y) = (\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2})~ g(x, y) \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

smile

16.05.2010, 19:49

axiom_09

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RE: Harmonische Funktion
Bist du auf die Wurzel wegen r draufgekommen bzgl. des Polarkoordinaten?
Da nämlich $\begin{eqnarray*} r = \sqrt{x^2 + y^2} \end{eqnarray*}$

Die Frage ist jetzt, wo setze ich n ein und wie zeige ich es, dass die Funktionen harmonisch sind?

Achso, n bedeutet ja Anzahl der partiellen Ableitungen, oder?
Aber wie schon erwähnt, wie zeige ich denn, dass sie harmonisch sind?

Grüße
axiom_09

16.05.2010, 19:56

Abakus

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RE: Harmonische Funktion
Naja, hier ist n=2 erstmal bzw. beim ersten Beispiel n=3. Und nun heißt es, das Ganze ableiten und ausrechnen. Wenn 0 herauskommt, ist g harmonisch.

Grüße Abakus smile

smile

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16.05.2010, 20:55

axiom_09

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RE: Harmonische Funktion
Du meinst also, wenn die Summe der partiellen Ableitungen von x und y in der 3. partiellen Ableitung Null ergibt, dann ist die Funktion harmonisch.

Grüße
axiom_09

17.05.2010, 00:02

axiom_09

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RE: Harmonische Funktion
Das Problem ist, dass die Summe der partiellen Ableitungen in der 3. Ordnung keine Null ergeben.

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \Delta f (x,y) = \frac{\partial^3 f}{\partial x^3} + \frac{\partial^3 f} {\partial y^3} = 0 \Rightarrow \frac{9xy^2-6x^3} {\sqrt{(x^2+y^2)^7}} + \frac{9x^2y-6y^3}{\sqrt{(x^2+y^2)^7}}\neq 0 \end{eqnarray*}$

Könnte vielleicht jemand das überprüfen?

MfG
axiom_09

17.05.2010, 19:48

axiom_09

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RE: Harmonische Funktion
Das Problem ist, das die Summe der partiellen Ableitungen weder bei g geschweige den bei f Null werden.
Was mache ich den hier falsch, könnte mir vielleicht jemand sagen?

MfG
axiom_09

17.05.2010, 20:17

gonnabphd

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Die Definition des Laplace-Operators ist aber ein wenig anders... unglücklich

unglücklich

17.05.2010, 20:29

axiom_09

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Die Definition des Laplace-Operators ist doch
$\begin{eqnarray*} div grad f = \sum\limits_{j=1}^3 \frac{\partial^2 f}{\partial x_j^2} = \Delta f \end{eqnarray*}$ wobei

$\begin{eqnarray*} \Delta = \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial x_3^2} \end{eqnarray*}$ der Laplace-Operator ist.

17.05.2010, 20:31

gonnabphd

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Ja, dann frage ich dich, was dich zu diesem hier bewegt?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Delta f (x,y) = \frac{\partial^3 f}{\partial x^3} + \frac{\partial^3 f} {\partial y^3} = 0 \Rightarrow \frac{9xy^2-6x^3} {\sqrt{(x^2+y^2)^7}} + \frac{9x^2y-6y^3}{\sqrt{(x^2+y^2)^7}}\neq 0 \end{eqnarray*}$

17.05.2010, 20:35

axiom_09

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Es geht doch darum, dass man zeigen soll dass f für n = 3 und g für n =2 harmonisch sind. Aber das wiederum heisst doch, dass die Summe der letzten Stufe der partiellen Ableitungen Null sein müssen, sprich der Laplace-Op.
Oder habe ich hier ein Denkfehler?

MfG
axiom_09

17.05.2010, 21:18

gonnabphd

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Ich versteh' nicht, wieso du die dritten partiellen Ableitungen nimmst, wenn's doch anders definiert ist. verwirrt

verwirrt

17.05.2010, 21:26

axiom_09

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Na wegen n =3 für f. Ich bin davon ausgegangen, dass hier dann f dreimal partielle abgeleitet werden muss. Oder?

Grüße
axiom_09

17.05.2010, 21:51

gonnabphd

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lol, das sieht mir nach einer Endlosschleife aus... Big Laugh

Big Laugh

(*)

Zitat:

Die Definition des Laplace-Operators ist aber ein wenig anders... unglücklich

unglücklich

Zitat:

Ja, dann frage ich dich, was dich zu diesem hier bewegt?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \Delta f (x,y) = \frac{\partial^3 f}{\partial x^3} + \frac{\partial^3 f} {\partial y^3} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich versteh' nicht, wieso du die dritten partiellen Ableitungen nimmst, wenn's doch anders definiert ist. verwirrt

verwirrt

(**) Wenn du es noch nicht verstehst, fang nochmal oben an, bei (*) Hammer

Hammer

Ansonsten kannst du die Schleife abbrechen.

17.05.2010, 22:52

axiom_09

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Was soll ich den sonst machen, wenn n = 3 ist?

Wie würdest du denn vorgehen?

17.05.2010, 23:06

gonnabphd

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Willst du mich veräppeln? verwirrt

verwirrt

Zitat:

$\begin{eqnarray*} r : \mathbb R^n \to \mathbb R, r(x) = || x || \end{eqnarray*}$

So ist deine Funktion (bzw. f=1/r) definiert. Für n=3 wird das zu $\begin{eqnarray*} r : \mathbb R^3 \to \mathbb R, r(x) = || x || = \sqrt{x_1^2 + x_2^2+x_3^2} \end{eqnarray*}$

Also... ich weiss ja nicht.

17.05.2010, 23:30

axiom_09

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Achso ich verstehe, ich habe dass mit n = 3 falsch verstanden gehabt. Hammer

Hammer

Jetzt mit deinem Ansatz wird die Summe der zweiten partiellen Ableitungen zu Null.
Alles klar, vielen Dank für die Antwort.

MfG
axiom_09

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