Matrixpotenz Unterraum des K^(nxn)

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crosell Auf diesen Beitrag antworten »
Matrixpotenz Unterraum des K^(nxn)
Meine Frage:
Hi Leute,

ich hab hier ff. Problem. Und zwar soll ich zeigen dass jede Potenz (mit nichtnegativen natürlichen Exponenten) einer quadratischen nxn Matrix über einem Körper K in einem n-dimensionalen linearen Unterraum des K^nxn liegen.

Meine Ideen:
Ich hab mir dazu mal das Matrixprodukt für Potenzen 2 bis 5 von ner 3x3, 4x4 und 5x5 Matrix in allgemeiner Form mit Variablen Ausdrücken auswerten lassen. Was ich dabei erkannt hab ist, dass die n-1-erste Potenz einer beliebigen quadratischen Matrix an jeder Stelle der Matrix schon eine Linearkombination von allen Elementen der Ausgangsmatrix enthält. Damit denke ich leuchtet ein, dass jede nachfolgende Potenz irgendwo dann schon in den vorhergehenden Potenzen enhalten ist.

Gibt es eine allgemeine Summenvorschrift für die einzelen Einträge einer Matrix hoch einem Faktor k. Was ich mir bisher erschließen konnte ist nur, dass diese Einträge Summen mit n^k Summanden sein müssten und die einzelnen summanden jeweils eine Produkt aus k faktoren. Nur, selbst wenn ich diese allgemeine Vorschrift finden könnte, wie "sehe" ich auf Anhieb oder durch nachrechnen, dass man dann jede beliebige Potenz als Linearkombination von n-1 Matrizen bekomme.

Ich wär für ne Anregung recht dankbar, oder vllt. gibt es ja noch eine sanftere Möglichkeit das zu zeigen, als mit nem "brutalen" nachrechnen der Matrixeinträge. Wär ja schön wenn man das über ne andere Richtung machen könnte.

Grüße Crosell
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Charakteristisches Polynom der Matrix, Satz von Cayley-Hamilton. Daraus folgt, dass die Potenzen der quadratischen nxn-Matrix einen höchstens n-dimensionalen Unterraum von K^nxn aufspannen.
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Okay also Satz von Cayley-Hamilton.

mit und da . Dann wäre nach Cayley-Hamilton:

und da die Koeffizienten nicht alle verschwinden, denn sonst wäre das charakteristische Polynom ja das Nullpolynom, sind die mit linear abhängig. Okay soweit klar formuliert?.

Nun folgt daraus ja schonmal, dass höchstens die mit linear unabhängig sein können und damit einen n-dimensionalen Untervektorraum des aufspannen könnten. Ich muss jedoch zeigen, dass die in einem n-dimensionalen linearen Unterraum liegen und bisher hab ich mit dieser Bedingung hier ja nur mit .

Wie zeige ich nun ?

Grüße Crosell Wink
crosell Auf diesen Beitrag antworten »

Um diese Aussage zu zeigen, müsste ich doch die lineare Unabhängigkeit der mit beweisen. Also das aus folgt aber da steh ich grad so ein wenig auf dem schlauch.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenruf eines Gedanken :-)
Wenn Elvis es erlaubt. Augenzwinkern

Zitat:
Und zwar soll ich zeigen dass jede Potenz (mit nichtnegativen natürlichen Exponenten) einer quadratischen nxn Matrix über einem Körper K in einem n-dimensionalen linearen Unterraum des K^nxn liegen.


D.h. doch, du betrachtest (*). Mit CH erhältst du:



Wenn A nun nicht die Nullmatrix ist, steht da eine nichttriviale LK der 0 Matrix. Diese Matrizen sind also L.a. Man kann auch schreiben (mit b passend gewählt)



d.h. A^n lässt sich schon durch die anderen Vektoren kombinieren. Was bedeutet das für (*).
crosell Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwischenruf eines Gedanken :-)
Hey Tigerbiene Wink

Mensch ich hau mir mal kurz vor den Kopf Hammer

Na klar steht doch schon alles da. Ich kann die A^i alle auf eine Seite bringen, dann sind die Koeffizienten die du hier b nennst einfach nur die negativen a_i geteilt durch a_n das kann man machen da K ein Körper ist. Und somit ist seinerseits A^n eine LK der anderen A^i womit A^n nun im Untervektorraum liegt, der durch die anderen A^i's aufgespannt wird. Das bedeutet für (*) nun, dass schon die ersten n Matrizen linear unabhängig sind, damit sind dann alle anderen weiteren Potenzen schon in der LK der ersten enthalten und man kann das Erzeugendensystem auf die Basis reduzieren.
Damit müsste alles gezeigt sein.

Wieder mal ein dank an dich Tigerbiene und natürlich an Elvis Augenzwinkern

Grüße Crosell
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwischenruf eines Gedanken :-)
Der Dank gebürt Elvis. CH war der entscheidende Tipp hier. Wink
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