Topologie - unendliche Produkte von Filterbasen.

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nore Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie - unendliche Produkte von Filterbasen.
Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu unendlichen Produkten von Filterbasen.


Vorweg zum Thema Crossposting: Ich habe diese Frage bereits vor einigen Tagen im Mathematik-Forum unserer Mathe-Fachschaft erstellt. (fachschaft-mathe-info.volkersfitnessland.de/viewforum.php?f=39) Dort habe ich bisher noch keine Antwort erhalten und um ehrlich zu sein glaube ich, dass ich dort auf eine solche, doch etwas speziellere Frage keine Antwort bekommen werde.

Aus diesem Grund und da das oben angesprochene Forum eher sehr klein und privat ist und somit keine Konkurrenz matheboard.de darstellt, stelle ich diese Frage nun auch hier. Ich hoffe, das ist ausnahmweise gestattet. Ansonsten kann ich die Frage aus dem anderen Forum herausnehmen.




Zu meiner Frage:

Es geht um das Produkt topologischer Räume und Filter darauf:

Hier ein kurzer Ausschnitt aus "Topologische lineare Räume" von G. Köthe:

Sei eine Familie von topologischen Räumen, das Produkt dieser Räume mit der Produkttopologie. Ist auf jedem ein Filter gegeben, so bezeichnet man als den Produktfilter den Filter auf , der von allen Mengen erzeugt wird, mit für alle bist auf endlich viele und eine beliebige Menge aus für endliche viele .


Bis hierhin ist das ganze noch verständlich und eigentlich sehr analog zur Definition der offenen Mengen in der Produkttopologie, aber jetzt kommt eine Stelle, die ich nicht ganz verstehe:

Das Produkt von Filterbasen der ist ebenfalls eine Basis von .


Müsste hier nicht wieder für unendliche Produkte die Einschränkung vorgenommen werden, dass für fast alle ? Nimmt man einfach nur das Produkt der Filterbasen, sollte man doch eigentlich einen feineren Filter enthalten, da man nun auch Elemente im Filter hat, bei denen nicht unendlich viele oder gegebenenfalls nichtmal eine Komponente "den ganzen Teilraum enthält". Oder sollte man eher sagen, den Teilraum durchläuft?
Also nehmen wir mal als Beispiel gewisse Filter , deren Basen alle ein Element enthalten, das nicht der gesamte Raum ist (so ist es ja im Allgemeinen). Dann haben wir in dem Produkt der Basen ein Element, in dem keine Komponente gleich dem zugehörigen Teilraum ist und somit erzeugt dieses Produkt der Basen einen Filter, der feiner sein muss als der Produktfilter.



Kann mir jemand helfen? Ich finde meinen Denkfehler nicht. Vielleicht würde es mir auch schon helfen, wenn mir nochmal jemand erklären könnte, wie man das Produkt von Filterbasen genau bildet. Irgendwie sollten doch dann Tupel entstehen, bei denen jede Komponente alle Elemente der einzelnen Filterbasen durchläuft. Damit hätten wir aber dann Tupel von Mengen. Eigentlich wollen wir aber doch Mengen von Tupeln haben, um einen Filter auf dem Produkt der Räume erzeugen zu können.

Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen oder zumindest Denkanstöße geben oder mit mir gemeinsam überlegen.


Danke im Vorraus.


Gruß
David
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Topologie - unendliche Produkte von Filterbasen.
Zitat:
Original von nore
Müsste hier nicht wieder für unendliche Produkte die Einschränkung vorgenommen werden, dass für fast alle ?


Hallo!

Ich sehe schon den Sinn dieser Einschränkung nicht wirklich, auch beim Produktfilter. Wenn du in jeder Komponente des kart. Produktes den jeweiligen Filter nimmst, bekommst du schließlich auch einen Filter auf dem Produkt, oder gibt es da ein Problem?

Grüße Abakus smile
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das Produkt von Filterbasen der ist ebenfalls eine Basis von .


Ich bin da gleicher Meinung wie du, denn eine Basis eines Filters ist doch insbesondere eine Teilmenge desselben! verwirrt


@Abakus: So wie du das definieren willst, bekommt man wohl etwas wie die "box topology" und die scheint nicht wirklich zu gebrauchen zu sein. Jedenfalls ist die Standardtopologie auf Produkträumen die Produkttopologie, welche im gleichen Sinne wie oben definiert wird, im endlichen Fall ist's natürlich schnuppe.

Wink

Edit: Hier habe ich noch eine Definition gefunden, die unserem gemeinsamen Gefühl (*lol*) Rückendeckung gibt (?). Seite 54: Definition über Subbasen.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gonnabphd
@Abakus: So wie du das definieren willst, bekommt man wohl etwas wie die "box topology" und die scheint nicht wirklich zu gebrauchen zu sein. Jedenfalls ist die Standardtopologie auf Produkträumen die Produkttopologie, welche im gleichen Sinne wie oben definiert wird, im endlichen Fall ist's natürlich schnuppe.


Mit Basis ist hier Filterbasis gemeint, denke ich. Filter bzw. Filterbasen sind erstmal nur Mengensysteme.

Interessant wäre von nore zu erfahren, wo diese Produktfilter usw. genau benutzt werden?

Grüße Abakus smile
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mit Basis ist hier Filterbasis gemeint, denke ich. Filter bzw. Filterbasen sind erstmal nur Mengensysteme.

Interessant wäre von nore zu erfahren, wo diese Produktfilter usw. genau benutzt werden?


Zu ersterem: Das sehe ich schon auch so.
Jedoch: Das erste Mal, wo ich Filtern begegnet bin, wurden damit Topologien auf Räumen erklärt. Deshalb dachte ich, dass die Definitionen mit den Standarddefinitionen übereinstimmen sollten (bzw. analog dazu sein müssten).

Zu letzterem: dito.
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Abakus und gonnabphd,

danke für euer Interesse an meinem Problem. Leider habe ich erst am Dienstag wieder Zeit, um euch zu antworten. Ich hoffe, eure Rückfragen haben noch solange Zeit. smile

Gruß
David
 
 
nore Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ihr beiden. :-)

Wie in dem anderen Thread erklärt, setze ich mich im Moment aufgrund eines Seminars mit der Topologie auseinander. Deshalb kann ich leider nicht genau sagen, wo diese Produktfilter benutzt werden.

Gruß
David
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