Topologie - Konvergenz von Filtern und zugeordneten gerichteten Systemen

17.05.2010, 00:04

nore

Topologie - Konvergenz von Filtern und zugeordneten gerichteten Systemen

Hallo zusammen,

ich habe eine Frage zu unendlichen Produkten von Filterbasen.

Vorweg zum Thema Crossposting: Ich habe diese Frage bereits vor einigen Tagen im Mathematik-Forum unserer Mathe-Fachschaft erstellt. (fachschaft-mathe-info.volkersfitnessland.de/viewforum.php?f=39) Dort habe ich bisher noch keine Antwort erhalten und um ehrlich zu sein glaube ich, dass ich dort auf eine solche, doch etwas speziellere Frage keine Antwort bekommen werde.

Aus diesem Grund und da das oben angesprochene Forum eher sehr klein und privat ist und somit keine Konkurrenz matheboard.de darstellt, stelle ich diese Frage nun auch hier. Ich hoffe, das ist ausnahmweise gestattet. Ansonsten kann ich die Frage aus dem anderen Forum herausnehmen.

Zu meiner Frage:

Es geht um Konvergenz von Filtern und deren zugeordneten gerichteten Systemen:

In "Topologische lineare Räume" von Gottfried Köthe gibt es den Satz:

Der Filter $\begin{eqnarray*} \mathfrak{F} \end{eqnarray*}$ hat den Limes $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} x_\alpha \rightarrow x_0 \end{eqnarray*}$ für jedes zugeordnete gerichtete System.

Der Beweis ist in der Hinrichtung relativ einfach:

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{U}(x_0)\subseteq{\mathfrak{F}} = \left\{F_\alpha\right\}\Rightarrow \end{eqnarray*}$ Für jedes $\begin{eqnarray*} U\in\mathfrak{U}(x_0) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists \alpha \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U = F_\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_\beta\subseteq{F_\alpha} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall\beta\geq\alpha\Rightarrow x_\beta\in F_\alpha \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall\beta\geq\alpha \end{eqnarray*}$ .

Die Rückrichtung bereitet mir ein paar Probleme.
Idee ist: Wir nehmen eine beliebige Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und zeigen, dass diese Umgebung Obermenge eines Filterelements $\begin{eqnarray*} F_\alpha \end{eqnarray*}$ ist und somit auch selbst Filterelement ist.
Zu jeder Umgebung gibt es nach Konvergenzbedingung für jedes gerichtete System einen Index $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , sodass alle Elemente des gerichteten Systems mit Index $\begin{eqnarray*} \geq\beta \end{eqnarray*}$ innerhalb dieser Umgebung liegen. Könnte man jetzt ein Supremum dieser $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ s bestimmen, hätten wir einen Index $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ , ab dem jedes Element jedes zugeordneten gerichteten Systems innerhalb dieser Umgebung liegt und das würde bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} F_\gamma \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge der Umgebung ist und da $\begin{eqnarray*} F_\gamma \end{eqnarray*}$ ein Filterlement ist, wäre damit die Umgebung auch ein Filterelement.

Aber ich glaube nicht, dass man im allgemeinen ein solches Supremum finden kann.
Hat jemand eine Idee? Oder gibt es vielleicht einen anderen einfachen Lösungsansatz? Köthe

Gruß
David

18.05.2010, 18:23

Abakus

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RE: Topologie - Konvergenz von Filtern und zugeordneten gerichteten Systemen

Zitat:

Original von nore
Es geht um Konvergenz von Filtern und deren zugeordneten gerichteten Systemen:

In "Topologische lineare Räume" von Gottfried Köthe gibt es den Satz:

Der Filter $\begin{eqnarray*} \mathfrak{F} \end{eqnarray*}$ hat den Limes $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} x_\alpha \rightarrow x_0 \end{eqnarray*}$ für jedes zugeordnete gerichtete System.
erlement ist, wäre damit die Umgebung auch ein Filterelement.

Hallo!

Ein Filter konvergiert gegen x, wenn er feiner als der Umgebungsfilter von x ist. Das ist meine Ausgangsdefinition hier.

Was meinst du mit einem zugeordneten gerichteten System?

Grüße Abakus smile

18.05.2010, 19:46

nore

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Hallo Abakus,

danke erstmal, dass du dich für meine Themen interessierst, bzw versuchst mir zu helfen. :-)

Ein "gerichtetes System" ist zunächst mal glaube ich nur ein altmodischer Ausdruck für ein Netz, also etwas platt gesagt eine Folge, die anstatt den Natürlichen Zahlen eine beliebige gerichtete Menge als Indexmenge hat.
Anders ausgedrückt, es ist eine Abbildung von einer gerichteten Menge in irgendeine Menge.
Schreibweise $\begin{eqnarray*} (x_\alpha)_{\alpha\in A} \end{eqnarray*}$ oder kurz nur $\begin{eqnarray*} x_\alpha \end{eqnarray*}$ , wobei A eine gerichtete Menge ist.

Ein zugeordnetes gerichtetes System eines Filters definiert G. Köthe nun so:

Die Mengen $\begin{eqnarray*} F_\alpha \end{eqnarray*}$ eines Filters $\begin{eqnarray*} \mathfrak{F} \end{eqnarray*}$ bilden eine bezüglich $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ gerichtete Menge. Wir erhalten ein gerichtetes System $\begin{eqnarray*} x_\alpha \end{eqnarray*}$ , wenn wir aus jedem $\begin{eqnarray*} F_\alpha \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_\alpha \end{eqnarray*}$ auswählen und die $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nach der eben genannten Halbordnung der $\begin{eqnarray*} F_\alpha \end{eqnarray*}$ anordnen. Dies sind die einem Filter zugeordneten gerichteten Systeme.

Also ordnen wir quasi die $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} F_\beta \subseteq F_\alpha \forall\beta\geq\alpha \end{eqnarray*}$ und nehmen dann aus jedem $\begin{eqnarray*} F_\alpha \end{eqnarray*}$ ein Element raus und nennen dies $\begin{eqnarray*} x_\alpha \end{eqnarray*}$ und haben damit ein gerichtetes System bzw Netz.

Deine Definition von Konvergenz ist auch die, die ich kenne.

Gruß
David

18.05.2010, 21:49

Abakus

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RE: Topologie - Konvergenz von Filtern und zugeordneten gerichteten Systemen

Zitat:

Original von nore
Der Filter $\begin{eqnarray*} \mathfrak{F} \end{eqnarray*}$ hat den Limes $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} x_\alpha \rightarrow x_0 \end{eqnarray*}$ für jedes zugeordnete gerichtete System.

Der Beweis ist in der Hinrichtung relativ einfach:

$\begin{eqnarray*} \mathfrak{U}(x_0)\subseteq{\mathfrak{F}} = \left\{F_\alpha\right\}\Rightarrow \end{eqnarray*}$ Für jedes $\begin{eqnarray*} U\in\mathfrak{U}(x_0) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \exists \alpha \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U = F_\alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_\beta\subseteq{F_\alpha} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall\beta\geq\alpha\Rightarrow x_\beta\in F_\alpha \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall\beta\geq\alpha \end{eqnarray*}$ .

Die Rückrichtung bereitet mir ein paar Probleme.
Idee ist: Wir nehmen eine beliebige Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und zeigen, dass diese Umgebung Obermenge eines Filterelements $\begin{eqnarray*} F_\alpha \end{eqnarray*}$ ist und somit auch selbst Filterelement ist.
Zu jeder Umgebung gibt es nach Konvergenzbedingung für jedes gerichtete System einen Index $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , sodass alle Elemente des gerichteten Systems mit Index $\begin{eqnarray*} \geq\beta \end{eqnarray*}$ innerhalb dieser Umgebung liegen. Könnte man jetzt ein Supremum dieser $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ s bestimmen, hätten wir einen Index $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ , ab dem jedes Element jedes zugeordneten gerichteten Systems innerhalb dieser Umgebung liegt und das würde bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} F_\gamma \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge der Umgebung ist und da $\begin{eqnarray*} F_\gamma \end{eqnarray*}$ ein Filterlement ist, wäre damit die Umgebung auch ein Filterelement

Das Supremum sehe ich auch nicht. Aber nimm mal an, keines der $\begin{eqnarray*} F_{\alpha} \end{eqnarray*}$ wäre Teilmenge von $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ . Dann könntest du via $\begin{eqnarray*} y_{\alpha} \in F_{\alpha} \setminus U \end{eqnarray*}$ ein nicht gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergentes, zugeordnetes gerichtetes System konstruieren. Widerspruch.

Grüße Abakus smile

19.05.2010, 16:34

nore

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Danke, so mache ich es. :-)

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