Produktformel beweisen

29.10.2006, 18:55	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
Produktformel beweisen Hallo, ich soll folgende Produktformel beweisen: $\begin{eqnarray} (1+a^{2^{1}})(1+a^ {2^{2}})(1+a^{2^{3}})...(1+a^{2^{n}}) = \frac{1-a^{2^{n+1}})}{1-a} \end{eqnarray}$ Ansatz mit vollständiger Induktion: Behauptung. Aussage für n-1 wahr, Schluss von n-1 -> n $\begin{eqnarray} \frac{1-a^{2^{n}}}{1-a} (1+a^{2^{n}}) \end{eqnarray}$ Das ist ja die Dritte binomische Formel im Zähler, aber ich komme dann nicht auf das gewünschte Ergebnis, weil dann ja der Faktor quadriert wird! $\begin{eqnarray} \frac{1-a^{2^{n+1}}}{1-a} \end{eqnarray*}$ Habt ihr eine Idee, wie ich das beweisen kann, oder wo mein Fehler liegt? GFrüße hmer
29.10.2006, 19:16	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt doch $\begin{eqnarray} (a^b)^c=a^{b\cdot c} \end{eqnarray}$ ! Gruß MSS
30.10.2006, 07:58	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm... ja schon klar, aber das wäre dann ja $\begin{eqnarray} \frac{(1-a^{2n})(1+a^{2n})}{1-a} = \frac{(1+a^{2n}-a^{2n}-(a^{2n}a^{2n}))}{1-a} = = \frac{(1-a^{(2n)^{2}})}{1-a} \end{eqnarray}$ Was mir dann ja nicht $\begin{eqnarray} 1-a^{2^{n+1}} \end{eqnarray}$ im Zähler gibt... Hat irgend jemand eine Idee, oder kann es sein, dass mit der Aufgabe was nicht stimmt?
30.10.2006, 09:39	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Das soll vermutlich heißen: $\begin{eqnarray} (1+a^{2^{1}})(1+a^ {2^{2}})(1+a^{2^{3}})...(1+a^{2^{n}}) = \frac{1-a^{2^{n+1}}}{1-a^2} \end{eqnarray}$ Denn sonst scheitert man schon am Induktionsanfang. Zu dem anderen: Es gilt nicht $\begin{eqnarray} a^{2n} \cdot a^{2n} = a^{(2n)^2} \end{eqnarray}$ Wie lautet die elementare Potenzregel?
30.10.2006, 10:15	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, klar a^2^n * a^2^n = a^2n * a^2n = a^(2n+2n) = a^4n aber so komme ich immer noch nicht auf das gewünschte ergebnis...
30.10.2006, 10:23	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch das ist falsch. Es ist: $\begin{eqnarray} a^{2^n} = a^{(2^n)} \neq a^{2n} \end{eqnarray}$ Also nochmal. Was ist: $\begin{eqnarray} a^{(2^n)} \cdot a^{(2^n)} \end{eqnarray}$ ?
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30.10.2006, 10:24	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich hier mal kurz eine Gedächtnisstütze anbieten dürfte : Potenzregeln
30.10.2006, 10:44	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm mist! ok... es ist dann wohl $\begin{eqnarray} a^{2^{n}+2^{n}} \end{eqnarray}$
30.10.2006, 10:48	Lazarus	Auf diesen Beitrag antworten »
und noch weiter. $\begin{eqnarray} a^{2^{n}+2^{n}}=a^{2\cdot 2^{n}}=a^{2^{n+1}} \end{eqnarray}$
30.10.2006, 16:14	hmer	Auf diesen Beitrag antworten »
yup... vorhin ist mir ein lichtlein aufgegangen! gruß und dank hmer
30.10.2006, 18:40	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Na fein. Und wie geht dein Induktionsanfang?

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