basis des kerns bestimmen

17.05.2010, 13:33

nilsman89

basis des kerns bestimmen

Meine Frage:
also gegeben ist folgende matrix $\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -2 \\ -1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zuerst sollte man den rang bestimmen, der ist rg(a)=1 , da man mit zeile eins mal (-2) zur II-zeile diese eliminiert und mit III addiert eine zweite nullzeile erreicht...
jetzt zur basis des kerns. ich bin mir nicht sicher, ob ich das alles richtig gemacht habe und würd da gern einfach kurz nachfragen Augenzwinkern

Meine Ideen:
1.zeile 2 und 3 können wir zu nullzeilen machen.
2.für kern(a) gilt Ax=0
d.h. aus 1.) , dass wir x2,x3 = 1 setzen und in die erste gleichung einsetzen.

x1+2-1=0 => x1 = -1
$\begin{eqnarray*} Basis ( kernA) = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

danke für hilfen oder korrekturen...

17.05.2010, 13:40

klarsoweit

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RE: basis des kerns bestimmen

Zitat:

Original von nilsman89
d.h. aus 1.) , dass wir x2,x3 = 1 setzen und in die erste gleichung einsetzen.

Das Verfahren geht so, daß man sukzessive eine freie Variable gleich 1 und die anderen Null setzt und damit jeweils die entstehenden Gleichungen löst.

Im übrigen gibt es eine Beziehung zwischen dem Rang und der Dimension des Kerns.

17.05.2010, 13:59

nils mathe lk hems

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$\begin{eqnarray*} Basis ( kernA) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich sag , dass x3=1 und x2=0 ist?

mit zusammenhang meinst du, da bildA = rg A und nach dem dimensionsatz

kern A = n - rgA = 3-1 = 2

und wir der $\begin{eqnarray*} Basis ( kernA) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

durch x2 = 0 entnehmen können, dass es zweidimensional ist und soweit richtig...?

edit:

in aufgabenteil 2 soll man mit den zwei vektoren
$\begin{eqnarray*} b_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} b_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
bei der ersten LGS mit b1 kommen dann ja wieder 2 nullzeilen bei heraus...
wie verfahre ich diesmal?
hat das LGS keine lösung oder kann ich jetzt wieder x3= 1 und x2 = 0 oder in diesem fall dann beides gleich 1 setzen ?
oder bekommt man sozusagen zwei lösungen, da man einmal x3 und einmal x2 , 1 setzt?

bei b2 bekommt man 0 0 0 = 2 in der untersten zeile => LGS somit nicht lösbar

lg

17.05.2010, 14:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
kern A = n - rgA = 3-1 = 2

Bitte auf formale Sauberkeit achten: dim(Kern(A)) = n - rg(A)

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
und wir der $\begin{eqnarray*} Basis ( kernA) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

durch x2 = 0 entnehmen können, dass es zweidimensional ist und soweit richtig...?

Was soll mir das sagen? Jetzt hattest du oben festgestellt, daß die Dimension des Kerns 2 sein muß und gibst nun aber nur einen Baisvektor an? verwirrt

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
in aufgabenteil 2 soll man mit den zwei vektoren
[latex]
b_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}

b_{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/latext]

Was soll man?

17.05.2010, 14:26

nils mathe lk hems

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hab ja editiert...

so nochmal zur basis.
also muss ich einmal x2 und einmal x3 gleich 1 setzen um danach zwei vektoren zu bekommen, die eine ebene aufspannen?
oder was meinst du?

damit wäre dann

$\begin{eqnarray*} Basis (Kern(A)) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +\beta \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu aufgabenteil 2 :

man soll die linearengleichungssysteme untersuchen, ob sie lösbar sind...

für b1 bei uns mehrere lösungen?
b2 ist nich lösbar

17.05.2010, 15:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von nils mathe lk hems
$\begin{eqnarray*} Basis (Kern(A)) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +\beta \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Auch hier offenbart sich wieder formales Unverständnis. So wäre es richtig:

$\begin{eqnarray*} Basis (Kern(A)) = \left( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von nils mathe lk hems
für b1 bei uns mehrere lösungen?
b2 ist nich lösbar

Möglich. Ich hab's nicht nachgerechnet.

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