Unabhängigkeit von Zufallsgrößen

17.05.2010, 13:34	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Unabhängigkeit von Zufallsgrößen Meine Frage: Hallo. Ich hab folgendes Problem: Seien $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ zwei unabhängige Zufallsgrößen, sowie $\begin{eqnarray} g_{1},g_{2} \end{eqnarray}$ zwei borelsche Funktionen. Nun ist zu zeigen, dass dann auch $\begin{eqnarray} g_{1}(X) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_{2}(Y) \end{eqnarray}$ unabhängig sind. Meine Ideen: Eigentlich habe ich recht viel gegeben, hab aber schon beim vernünftigen Ansatz nen Hänger und komm nicht so wirklich mehr von der Stelle.. Da $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ unabhängig sind weis ich (Definition), dass $\begin{eqnarray} P[X\in B, Y\in C] = P[X \in B]P[Y \in C] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall B,C \in B(\mathbb R) \end{eqnarray}$ . (Unabhängigkeit aller durch $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ beschreibbaren Ereignisse) Weiterhin wurde in der Vorlesung bewiesen, dass wenn $\begin{eqnarray} g_{1},g_{2} \end{eqnarray}$ borelsch und $\begin{eqnarray} X,Y \end{eqnarray}$ Zufallsgrößen sind, auch $\begin{eqnarray} g_{1}(X),g_{2}(Y) \end{eqnarray}$ wieder Zufallsgrößen sind, worauf ich also auch zurückgreifen darf. Eine Funktion g heißt dabei borelsch, wenn sie $\begin{eqnarray} \mathbb R - \mathbb R \end{eqnarray}$ messbar ist, wenn also $\begin{eqnarray} g^{-1}(B)\in B(\mathbb R) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \forall B\in B(\mathbb R) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (i) \end{eqnarray}$ gilt, was sicherlich in irgendeiner Weise eine Rolle spielen muss, da es sich in der Aufgabe, schätze ich mal, nicht umsonst um 2 borelsche Funktionen $\begin{eqnarray} g_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_{2} \end{eqnarray}$ handelt und ich Eigenschaft $\begin{eqnarray} (i) \end{eqnarray*}$ also irgendwie mit in den Beweis einbringen muss. Könnt ihr mir helfen? Danke schonmal für Lösungsvorschläge
17.05.2010, 13:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} \left[ g(X)\in B \right] = \left[ X\in g^{-1}(B) \right] \end{eqnarray}$ , und das ist im Prinzip auch schon alles wesentliche.
17.05.2010, 14:07	xemle75ml	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, vielen Dank mal wieder! Als ich mir deinen Vorschlag grad angeschaut habe, musste ich bestimmt ne Minute durchlachen... man so einfach, und ich hab mir da vielleicht komische Gedanken zu gemacht..ist mir im Nachhinein fast schon peinlich die Frage überhaupt gestellt zu haben, bzw. daran großartig rumüberlegt zu haben, wenn ich das jetzt sehe..
17.05.2010, 14:13	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
So schlimm war die Frage nun auch wieder nicht, wenn du solche Betrachtungen mit Urbildmengen noch nicht oft gemacht hast.

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