Inverse Polynome (Restklasse)

17.05.2010, 16:16	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Inverse Polynome (Restklasse) Hallo, bei folgender Aufgabe könnte ich mal wieder einen Hinweis gebrauchen: $\begin{eqnarray} \text{Es sei } K \text{ ein Körper}, R= K[t] \text{ und } g=t^n \in R \text{ für ein }n>1. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a) \text{ Für das Polynom } r=t^{n-1}+1 \text{ ist die Restklasse } \overline{r} \in R/gR \, \text{ eine Einheit}! \text{ Bestimmen Sie das Polynom } s \in R \text{ vom Grad } <n \text{ mit } \overline{r} \cdot \overline{s} =1. \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b) \text{ Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente von } (R/gR)^ \text{ im Fall } K= \mathbb Z/p \mathbb Z \, , \, p \text{ Primzahl}. \end{eqnarray}$ Sowohl bei a, als auch bei b komme ich nicht sonderlich voran. Wir sollten in einer Aufgabe vorher schon das Inverse von 17 in Z/91Z bestimmen, das ist mir gelungen, da habe ich das nach Art des euklidischen Agorithmus' gemacht, immer weiter mit Rest zerlegen, bis man bei Rest 1 landet und dann auf $\begin{eqnarray} 75 \cdot 17 = 1275 = 14 \cdot 91 +1 \end{eqnarray*}$ stößt - das Inverse wäre dann eben die 75. Kann ich auf ähnliche Weise auch hier vorgehen? Bei der b) habe ich noch keine wirkliche Idee... Schon mal vielen Dank für Hinweise.
18.05.2010, 06:27	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es muß ja $\begin{eqnarray} r \cdot s - 1 \in \langle g \rangle \end{eqnarray}$ gelten, wo $\begin{eqnarray} \langle g \rangle \end{eqnarray}$ das von $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ erzeugte Hauptideal bezeichne. Anders gesagt: Das Polynom $\begin{eqnarray} r \cdot s - 1 \end{eqnarray}$ darf keine Monome enthalten, deren Grad $\begin{eqnarray} <n \end{eqnarray}$ ist. Jetzt muß man nur ein bißchen probieren: $\begin{eqnarray} \underbrace{\left( t^{n-1} + 1 \right)}_{r} \cdot \underbrace{\left( \ldots + \text{konstant} \right)}_{s} - 1 \end{eqnarray}$ Hieran kann man erkennen, wie das konstante Glied von $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ zu wählen ist, denn letztlich sollen sich alle konstanten Glieder wegheben. Und da, wo dann die Pünktchen stehen - mache es möglichst einfach! Die Erinnerung an die Mittelstufenalgebra der Schule ist wie so oft hilfreich ... Am Ergebnis erkennst du auch, warum $\begin{eqnarray} n>1 \end{eqnarray}$ vorausgesetzt wird.

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