Binomialkoeffizient, Teilbarkeit, Primzahl, Logarithmus |
17.05.2010, 19:20 | daN-R-G | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Binomialkoeffizient, Teilbarkeit, Primzahl, Logarithmus Der Titel ist zwar etwas komisch, aber wusste nicht genau, wie ich ihn sonst beschreiben soll Sitze gerade an einer Aufgabe, bei der mir noch die passende Idee für die Ungleichung fehlt. Behauptung: Für gilt: Okay. Also logarithmiert ergibt ja schließlich . Dann gilt ja weiter, dass sein muss, denn schließtlich gilt ja also . Weiß leider noch nicht genau, wie mir das nun hier weiterhilft. Hätte vll. jemand nen Tipp für mich? |
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17.05.2010, 19:48 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Betrachte vielleicht erstmal den Fall k=1, das lässt sich dann leicht auf beliebige k übertragen. Zu zeigen ist dann . Wenn nun p>n gilt, so gilt , also wegen p prim: . Also sowieso: . Ganz so einfach ist es für beliebige k nicht. Aber es lässt sich zeigen: Wenn und für ein , dann kommt bereits im Nenner vor, wird also weggekürzt und alle kleineren Potenzen von p dann natürlich auch. Also kommt p im Binomialkoeffizient nur mit der Potenz u vor. |
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17.05.2010, 20:10 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich muss gestehen, diese Argumentation verstehe ich nicht: kommt schließlich in weit größeren Potenzen in diesen Fakultäten vor, sowohl in Zähler als auch Nenner. Mir selbst fällt bisher leider nur etwas erheblich komplizierteres auf Basis von Exponent der 2 in der Primfaktorzerlegung von 10000! ein. |
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17.05.2010, 20:48 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für mich gilt Gleiches... |
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17.05.2010, 21:43 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt. War ein Denkfehler, ich hab natürlich 2p, 3p, 4p etc. nicht beachtet. |
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18.05.2010, 14:20 | daN-R-G | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo und Danke erstmal für eure Anregungen! Diese Formel mit der Anzahl von p in der Primfaktorzerlegung von n! hatten wir ebenfalls besprochen. Im gleichen Zusammenhang hatten wir auch die folgende Äquivalenz: Wäre der Ansatz nicht vll. vielversprechend? Es gelte Kann ich denn nun durch folgern, dass ? Dann hätte ich ja einen Widerspruch und die Behauptung müsste gelten. Vielen Dank |
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18.05.2010, 14:28 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist zwar richtig, aber die Frage war doch eigentlich eine ganz andere oder nicht? Nämlich, ob man die oben verlinkte Formel für die Vielfachheit von p in n! für einen Beweis braucht oder nicht... Die Meinung von Arthur und mir dazu kennst du ja inzwischen... |
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18.05.2010, 15:14 | daN-R-G | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay. Ich glaube ich verstehe momenten leider nur die Hälfte. Die Vielfachheit von p spielt nun also die gewisse Rolle bei dem Problem. Ich habe meine Unterlagen nochmal ein wenig durchgeschaut, und hoffe, dass ich nun die Richtige Argumentation habe. Also es gilt die Äquivalenz Das ganze bedeutet in Worten ja, dass man nach aufhören kann zu ermitteln, in welcher Vielfachheit p in n! vorkommt. Nach einem Korollar in der Vorlesung gilt nun ebenfalls: wobei die Vielfachheit von p sein soll. Gelte nun Es ist also . Nach dem Korollar gilt nun aber: , also . In kommt also maximal vor. Somit kann nicht den Zähler, also erst recht nicht den Nenner von teilen. Damit habe ich ja den Widerspruch und die Behauptung muss gelten. Stimmt das so in etwa? Ansonsten stehe ich richtig aufm Schlauch |
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18.05.2010, 15:46 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aha, so zwischen den Zeilen verrätst du, dass ihr die Behauptung also schon bewiesen habt. Das ist doch nur die logarithmierte Variante deiner Behauptung aus dem Eröffnungsposting! Ich weiß nicht, wie es anderen geht, aber ich komme mir jetzt irgendwie kräftig verarscht vor. |
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18.05.2010, 15:55 | daN-R-G | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh... das tut mir jetzt leid. Wie gesagt: Ich glaube ich verstehe den großen Zusammenhang der ganzen Sache noch nicht 100%. Mir ist das Korollar am Anfang auch noch garnicht ins Auge gesprungen. Ich sinniere besser nochmal über das ganze und versuche es vollständig zu verstehen, aber bedanke mich trotzdem vielmals!!! Zumindest wäre ich nicht direkt drauf gekommen, wieso man die Vielfachheit von p im Binomialkoeffizinten betrachten sollte... Verarschen wollte ich aber wirklich niemanden... wozu auch? |
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18.05.2010, 16:31 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schade (für uns) ist jetzt nur, dass die eigentliche Beweisidee nun vollständig in deinem im Nebel bleibenden Korollar versteckt ist. Wäre ja wenigstens spannend zu erfahren, ob es über diesen Weg eleganter geht als in dem von Mystic und mir angedeutetem Zugang. |
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18.05.2010, 18:42 | daN-R-G | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Korollar 1 Bemerkung 1 Sei . Dann ist . Insbesondere ist jeder Summand auf der rechten Seite von Korollar 1 entweder 0 oder 1. Folglich gilt: Korollar 2 Für gilt: Das sind die 3 Sachen, die ich da jetzt mit einbeziehen würde. Im Beweis von Korollar 1 wendet man auch 3 mal die von dir erwähnte Formel an. Oder was genau meintest du? Ansonsten missverstehe ich glaube ich was |
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18.05.2010, 18:56 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Mühe, aber dieser eine Satz beantwortet eigentlich schon alle Fragen... |
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18.05.2010, 19:33 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Einerseits schön, dass ich den richtigen Riecher hatte, andererseits etwas enttäuschend, dass es nicht einfacher geht. Na egal, danke für die Klärung. |
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18.05.2010, 20:18 | daN-R-G | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe zu danken! |
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