Konvergenz

17.05.2010, 19:40

Sarah19

Konvergenz

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{2n+3}{3n^{2}+1 } \end{eqnarray*}$
wie zeige ich ob dies konvergent ist mit dem vergleichs bzw wurzel oder quotientenkriterium?

17.05.2010, 19:48

hakan1

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hi versuche es doch mit wurzelkriterium ist wesentlich einfacher wie quoit..

17.05.2010, 19:54

Kühlkiste

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Hi, versuche es doch mit dem Minorantenkriterium (Vergleichskriterium). Das ist wesentlich einfacher als so manch anderes.

Mit ner recht groben Abschätzung findest Du z.B. $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac 1{2n} \end{eqnarray*}$ als divergente Minorante.

17.05.2010, 20:01

hakan1

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ja stimmt also müsste es dann so aussehen
2n+3/3n^2+1> 2n/3n^2+1
-->n ausklammern
n(2)/ n^2(3+1/n^2)
das hast du nur noch zu stehen
2/n(3+1/n^2)
2/n ist das selbe wie 1/n also divergiert die reihe

17.05.2010, 20:03

hakan1

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RE: Konvergenz
an welcher uni studierst du?

17.05.2010, 20:04

Sarah19

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wenn ich den term vereinfache komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+\frac{3}{n} }{3n+\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$
dann komme ich auf das hier
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{2+\frac{3}{n} }{3n+\frac{1}{n} } } \end{eqnarray*}$
weiss aber nicht wie ich das hier verinfachen muss

17.05.2010, 20:04

Iorek

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@hakan, das ist sehr hässlich zu lesen, die Aussage, dass "2/n das selbe wie 1/n" ist, halte ich auch für fragwürdig, und zudem kommt das schon einer Komplettlösung recht nahe unglücklich

17.05.2010, 20:05

hakan1

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lieber user es ist dasselbe das bin ich mir aber ganz sicher

17.05.2010, 20:06

Iorek

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Also $\begin{eqnarray*} \frac 12 \stackrel{?}=\frac 22 \end{eqnarray*}$ ...soso...

17.05.2010, 20:08

hakan1

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die reihe 1/n divergiert es macht dann kein unterschied wenn da 2/n oder 100/n steht weil diese dann auch divergieren

17.05.2010, 20:14

Iorek

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Das ist aber eine andere Aussage als "1/n ist das selbe wie 2/n".

Trotz allem kommt dein Post einer Komplettlösung recht nahe (auch wenn er vor formalen Fehlern nur so wimmelt und ich die komplette Absicht deiner Rechnung nicht ganz nachvollziehen kann), es wäre nett wenn du den gemäß unserem Boardprinzip editieren würdest.

17.05.2010, 20:14

Kühlkiste

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Zitat:

Original von hakan1
ja stimmt also müsste es dann so aussehen
2n+3/3n^2+1> 2n/3n^2+1
-->n ausklammern
n(2)/ n^2(3+1/n^2)
das hast du nur noch zu stehen
2/n(3+1/n^2)
2/n ist das selbe wie 1/n also divergiert die reihe

Wenn Du schon Latex verweigerst, dann setze bitte wenigstens klammern, denn so wie das da oben steht, ist es einfach nur Unsinn und hilft niemandem weiter.

Anscheinend war ich vorhin noch nicht deutlich genug. unglücklich

Es gelten folgende Abschätzungen:

$\begin{eqnarray*} 2n+3>2n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3n^2+1\leq 4n^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt überleg mal wie Du die gewinnbringend einsetzen kannst.
(Beachte insbesondere den Nenner)
Und um Himmels Willen vergiss hier das Wurzelkriterium.

17.05.2010, 20:17

Sarah19

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ist das hier der ansatz das falls 1/2n divergent ist auch unsere reiche divergent sein muss
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^{2}+1 } > \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

17.05.2010, 20:18

hakan1

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sag mal siehst du schlecht oder was!!!
hier wird das Minorantenkriterium angewendet und dann abgeschätzt.
ich empfehle dir dringend ANA1 nochmal zu besuchen.
unfassbar das ich hier das noch erleben darf

17.05.2010, 20:20

Iorek

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Unfassbar, dass ich so einen wie dich hier erleben darf unglücklich

Zitat:

Original von hakan1
2n+3/3n^2+1

Da steht $\begin{eqnarray*} 2n+\frac 33 n^2+1=n^2+2n+1 \end{eqnarray*}$ was mit der Ausgangsreihe absolut nichts mehr zu tun hat.

17.05.2010, 20:21

Sarah19

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war mein ansatz richtig?

17.05.2010, 20:23

hakan1

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lorek sorry aber, ich habe hier momentan besseres zu tun als dein gelabber mir von dir anzuhören. und sarah schreib dir mein lösungsweg einfach ab du wirst ja sehen,dass das stimmt.

17.05.2010, 20:24

Iorek

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Oh, tut mir leid, ganz übersehen.

Wenn du den Zwischenschritt von Kühlkiste dazwischen schreibst um diese Abschätzung zu "begründen", ist daran bestimmt nichts auszusetzen smile

Edit: @hakan1, dann wünsche ich dir einen schönen Abend in deiner komisch verschobenen Welt der Mathematik Wink

17.05.2010, 20:25

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Sarah19
ist das hier der ansatz das falls 1/2n divergent ist auch unsere reiche divergent sein muss
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^{2}+1 } > \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$

Ganz genau!

Und falls Du schon mal von der harmonischen Reihe und deren Divergenz gehört haben solltest, dann war's das schon.

17.05.2010, 20:31

Kühlkiste

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Zitat:

Original von hakan1
lorek sorry aber, ich habe hier momentan besseres zu tun als dein gelabber mir von dir anzuhören. und sarah schreib dir mein lösungsweg einfach ab du wirst ja sehen,dass das stimmt.

Bis hierher hatte ich den Eindruck es genüge den Schwachsinn, den hakan1 da so von sich gibt, zu ignorieren.
Den Fragesteller aber mit Nachdruck auf den Holzweg zu lotsen geht, das kann's nicht sein.
Vielleicht hat einer der Admins ja was gegen Trolls zur Hand.

17.05.2010, 20:33

Sarah19

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ich habs verinfacht und zum schluss komme ich auf
$\begin{eqnarray*} n^{2} +6n >1 \end{eqnarray*}$
daraus folgere ich dann das
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^1+1} \end{eqnarray*}$
divergent ist
1/5n oder 1/123142n ist das auch jedes mal divergent oder?
und woher hast du eigentlich gesehen welches kriterium hier am geeignetsten ist gibt es dafür irgendwelche tricks?

17.05.2010, 20:45

Kühlkiste

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Zitat:

Original von Sarah19
ich habs verinfacht und zum schluss komme ich auf
$\begin{eqnarray*} n^{2} +6n >1 \end{eqnarray*}$
daraus folgere ich dann das
$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^1+1} \end{eqnarray*}$
divergent ist

Du kannst natürlich von $\begin{eqnarray*} n^{2} +6n >1 \end{eqnarray*}$ ausgehend die benötigte Ungleichung herleiten. Das wäre aber eine eher umständliche Vorgehensweise.

Daher noch mal in aller Deutlichkeit:

$\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^2+1}<\frac{2n}{3n^2+1}\leq \frac{2n}{3n^2+n^2}=\frac{2n}{4n^2}=\frac 1{2n}. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Sarah19
1/5n oder 1/123142n ist das auch jedes mal divergent oder?

Sei $\begin{eqnarray*} K\in\mathbb R,~K\neq 0. \end{eqnarray*}$
Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac1{Kn}=\frac 1K \sum_{n=1}^\infty\frac1n \end{eqnarray*}$

An der Divergenz ändert ein solcher Faktor also nichts. Er beinflusst höchstens ob die Divergenz gegen + oder - unendlich geht.

Zitat:

Original von Sarah19
gibt es dafür irgendwelche tricks?

Übung!

17.05.2010, 21:09

Sarah19

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wie kommst du auf die
$\begin{eqnarray*} \frac{2n}{3n^{2}+1 } \end{eqnarray*}$

17.05.2010, 21:16

Sarah19

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wenn da z.b. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ stehen würde
würde ich das auch mit dem majorantenkriterium zeigen
würde das dann so aussehen
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} > \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2} }{n+1} >1 \end{eqnarray*}$

und somit wäre das dann bewiesen?

17.05.2010, 21:31

BErnhArd_P

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Kühlkiste hat in seinem letzten Beitrag falsch abgeschätzt, das heißt statt größer/größer gleich hat er kleiner/kleiner gleich geschrieben, da hat er sich vertippt, sonst stimmts.
Wie er auf die $\begin{eqnarray*} \frac{2n}{3n²+1} \end{eqnarray*}$ kommt sollte damit klar sein (er macht nur den Zähler kleiner).

Man muss halt bei so einer Aufgabe halt zeigen, dass es eine divergente Minorante gibt. Zu deinem letzten Post: Du musst dazu noch sagen/zeigen (was aber relativ offensichtlich ist), dass die Ungleichung für alle $\begin{eqnarray*} n \ge 2 \end{eqnarray*}$ gilt (für 1 stimmt es z.B. nicht). Wenn du das hast, hast du eine divergente Minorante gefunden und daher divergiert auch die andere Reihe.

17.05.2010, 22:23

Sarah19

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ich versteh immer noch nicht wie er darauf gekommen ist ich hätte anstatt der 2n/(3n^2+1) 1/2n oder 1/n genommen ich verstehe schon das die aussage stimmt die er getätigt hat darf man da also alles nehmen von dem ich weiss das es divergent ist als den kleineren term
weil ich würde auf anhieb nicht sehen das 2n/(3n^2+1) divergent ist aber von 1/n wüsste ich es ja

17.05.2010, 22:27

Iorek

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Das ganze läuft ja auf $\begin{eqnarray*} \frac 1{2n} \end{eqnarray*}$ hinaus, die Ungleichungskette ist nur etwas ausführlicher als direkt hinzuschreiben $\begin{eqnarray*} \frac{2n+3}{3n^2+1}\geq\frac 1n \end{eqnarray*}$ . Wenn du ohne weitere Begründung diese Abschätzung einfach hinschreibst, könnte es sein, dass dir Punkte abgezogen werden.

17.05.2010, 22:31

Sarah19

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danke ich glaube ich habe es jetzt ein bisschen besser verstanden

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