Wann erzeugt eine Vereinigung von Filtern wieder einen Filter? [Topologie]

18.05.2010, 09:22

nore

Wann erzeugt eine Vereinigung von Filtern wieder einen Filter? [Topologie]

Hallo zusammen,

in G.Köthes "Topologische lineare Räume" steht, dass eine Vereinigung $\begin{eqnarray*} \bigcup_{\alpha}{\mathfrak{F}_\alpha} \end{eqnarray*}$ von Filtern $\begin{eqnarray*} \mathfrak{F}_\alpha \end{eqnarray*}$ genau dann einen Filter erzeugt, wenn der Schnitt endlich vieler Mengen aus den verschiedenen $\begin{eqnarray*} \mathfrak{F}_\alpha \end{eqnarray*}$ niemals leer ist.
Um eine Filterbasis zu sein, muss die Vereinigung folgende beiden Axiome erfüllen:

F1) $\begin{eqnarray*} \forall B_1, B_2 \in \mathfrak{B} \exists B_3 \in \mathfrak{B} | B_1 \cap B_2 \supseteq B_3 \end{eqnarray*}$
F2) $\begin{eqnarray*} \O \notin \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$

Die Bedingung, die Gottfried Köthe nennt, ist offensichtlich notwendig und hinreichend für F2), aber den Zusammenhang zu F1 kann ich nicht finden.
Einfaches Beispiel: Betrachten wir die beiden Filter mit den Basen {(1;3)} und {(2;4)} auf den reellen Zahlen. Endliche Schnitte von Filterelementen sind hier nie die leere Menge, da das Intervall (2;3) in jedem Filterelemen als Teilmenge enthalten ist. Aber: (1;3) $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ (2;4) ist keine Obermenge eines Elements der Vereinigung unserer beiden Filter.

Kann mir jemand helfen?

Gruß
David

18.05.2010, 17:54

Abakus

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RE: Wann erzeugt eine Vereinigung von Filtern wieder einen Filter? [Topologie]

Zitat:

Original von nore
F1) $\begin{eqnarray*} \forall B_1, B_2 \in \mathfrak{B} \exists B_3 \in \mathfrak{B} | B_1 \cap B_2 \supseteq B_3 \end{eqnarray*}$
F2) $\begin{eqnarray*} \O \notin \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$

Hallo!

Das ist genau die Definition einer Filterbasis. Manchmal wird F2) weggelassen, wenn die leere Menge nämlich drinliegt, ist es ja die Potenzmenge. Statt F2) zu fordern, wird dann von einer echten Filterbasis gesprochen, wenn die leere Menge nicht drinliegt.

Du hast mit deinem Beispiel gezeigt, dass die Bedingung für einen Filter bei Vereinigung nicht reicht: nimm vielleicht noch dazu, dass die Vereinigung der Filter gegen endliche Durchschnitte abgeschlossen sein muss oder so?

Grüße Abakus smile

18.05.2010, 20:03

nore

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Hallo Abakus,

das würde mein Problem in der Tat lösen. Mich verwundert es nur, dass in einem Standardwerk (das sagt zumindest das Internet) wie diesem Buch ein solcher Fehler drin ist, der selbst mit auffällt, und damit doch eigentlich jedem auffallen sollte, der das Buch gründlich liest, oder?

Danke auf jeden Fall für deine Hilfe. Wenn ich fordere, dass die Vereinigung gegen endliche Durchschnitte abgeschlossen ist, impliziert das ja dann auch, dass endliche Durchschnitte nicht leer sind, also reicht mir wieder eine Bedingung. :-)

Gruß
David

18.05.2010, 21:24

Abakus

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Zitat:

Original von nore
Mich verwundert es nur, dass in einem Standardwerk (das sagt zumindest das Internet) wie diesem Buch ein solcher Fehler drin ist, der selbst mit auffällt, und damit doch eigentlich jedem auffallen sollte, der das Buch gründlich liest, oder?

Tja, gute Frage. So etwas kommt leider zu häufig vor.

Zitat:

Wenn ich fordere, dass die Vereinigung gegen endliche Durchschnitte abgeschlossen ist, impliziert das ja dann auch, dass endliche Durchschnitte nicht leer sind, also reicht mir wieder eine Bedingung. :-)

Ja, die Bedingung ist dann notwendig und hinreichend sogar.

Grüße Abakus smile

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