Extremwertaufgabe im Dreieck |
| 14.06.2004, 12:39 | Marienkäfer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Extremwertaufgabe im Dreieck
bei folgendem Beispiel:Gesucht ist jenes gleichschenklige Dreieck mit der Basis a, für das das Verhältnis der Umfänge von Inkreis und Umkreis ein Maximum ist. Berechne auch das Verhältnis der Radien beider Kreise. soll dann 1:2 lauten. Danke! |
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| 14.06.2004, 14:04 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verstehe ich das richtig? Ist u der Inkreis-Umfang und U der Umkreis-Umfang, dann soll u/U maximiert werden? Dazu brauchst du die Formeln für den Inkreis- und Umkreis-Umfang, in Abhängigkeit von der Höhe des Dreiecks oder der Schenkellänge oder sonst irgendeiner weiteren Bestimmungsgröße. Kannst du die angeben, Marienkäfer? |
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| 14.06.2004, 14:20 | Marienkäfer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast das Problem richtig verstanden. Ich weiß nicht, was du mit den Formeln meinst. wenn r der Inkreis- und R der Umkreisradius ist, dann ist u = 2*r*pi und U = 2*r*pi. Kann ich folgende Formeln verwenden, habe sie im Formelheft entdeckt: R= a/(1*sin alpha) und r= (b-a/2)*tan (alpha/2) ? b ist die Länge des Schenkels. 
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| 14.06.2004, 14:37 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, diese Art von Formeln meinte ich: Umkreis in Abhängigkeit vom Radius, und Radius in Abhängigkeit von Größen am Dreieck. Ich such mal, ob ich andere Formeln finde, die vielleicht besser geeignet sind... (vielleicht ohne Winkel?) |
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| 14.06.2004, 14:39 | Marienkäfer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, wäre nett! 
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| 14.06.2004, 14:52 | SirJective | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
http://matheboard.de/lexikon/index.php/Dreieckstrigonometrie Da hab ich für ein beliebiges Dreieck gefunden (dort sind die Radien anders bezeichnet, ich verwende hier unsere): Mit der Bezeichnung s = (a+b+c)/2 gilt R = abc/4F r = F/s F = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)) Bei uns ist b=c, abc = ab^2 und s = a/2 + b, also Nach "ein wenig Rechnen" erhalten wir . Bitte überprüfe diese Rechnung! EDIT: Kleiner Rechenfehler... |
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| 14.06.2004, 16:42 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit etwas Formelgesuche ergibt sich R=c/(2*sin(y))=c/(4*sin(y/2)*cos(y/2)) r=tan(y/2)*(s-c)= r=1/2*tan(y/2)*(a+b-c) =1/2*tan(y/2)*c*(1/sin(y/2) -1) r=1/2*c*(1-sin(y/2))/cos(y/2) f(y/2)=r/R =2*(1-sin(y/2))*sin(y/2) f'(y/2)=2*cos(y/2)-4*sin(y/2)*cos(y/2) für y/2=1/6*Pi, Pi/2, 5/6*Pi wird f' Null f(1/6*Pi) = 2*(1-sin(1/6*Pi))*sin(1/6*Pi)=2*(1-1/2)*1/2 = 1/2
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| 14.06.2004, 17:15 | Marienkäfer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für eure Bemühungen. 
Ich habs verstanden und kann die Rechnung nachvollziehen. |
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| 14.06.2004, 17:15 | Irrlicht | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja Poff, so geht's auch. *g* Ich rechne nicht gern mit Winkeln, weil ich die ganzen trigonometrischen Rechenregeln nicht im Kopf hab. Mit meiner Formel für f(b) = r/R komm ich auf f'(b) = , also f'(a) = 0. Wegen f''(a) = -1/a^2 < 0 ist das ein Maximum. Ich erhalte f(a) = 1/2. Damit wird das wohl stimmen. EDIT: Ups - falscher Login *gg* Irrlicht wird mir verzeihen. Gruss, SirJective |
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| 14.06.2004, 19:29 | Poff | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@SirJectirrlicht ... ich weder mit den einen noch den anderen . 
das war zudem noch Methode 'Stumpfsinn' ohne näheres Nachdenken .... R=c/(2*sin(y)) .... (Sinussatz) R=c/(4*sin(y/2)*cos(y/2)) R=c/(4*sin(90-a)*cos(90-a)) =c/(4*cos(a)*sin(a)) r=c/2 * tan(a/2) .... direkt ersichtlich r=c/2 * (1-cos(a))/sin(a) f(a)=r/R = c/2 * (1-cos(a))/sin(a) * 4*cos(a)*sin(a)* 1/c f(a) =2*(1-cos(a))*cos(a) f'(a)=0=-sin(a)*(1-2*cos(a)) mit a=0° oder cos(a) = 1/2 bzw f(a) =2*(1-1/2)*1/2 =1/2
f'' schenk ich dir ... |
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