Kovergenz und Grenzwerte

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pedda Auf diesen Beitrag antworten »
Kovergenz und Grenzwerte
Hallo!!
Erstmal meine Aufgabe:
Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und berechnen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.
(a)
(b)
(c) jeweils für und
(d)

Ich habe mich zwar schon ein bisschen durch andere Beiträge gelesen, bin bei meinen Aufgaben aber trotzdem nicht so weit gekommen.
Wenn ich wüsste wie ich bei (a) vorgehen soll, schaffe ich die anderen Aufgaben wahrscheinlich auch so.

Also zu (a):
Ich nehme an, dass der Grenzwert existiert. Zähler und Nenner gehen für zwar beide gegen unendlich, aber im Zähler geht das ja etwas schneller.

Ich weiß auch dass der Grenzwert ist.
Aber wie wird das ausgerechnet?

Und gibt es eine Methode, um zu beweisen, dass eine Folge konvergent ist? Abgesehen davon, einen Grenzwert zu vermuten und diesen auszurechnen?

Vielen Dank für die Unterstützung!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovergenz und Grenzwerte
Methoden gibt es diverse. Hilfreich sind vor allem die diversen Grenzwertsätze. Und wenn du bei (a) schon merkst, daß der Zähler schneller gegen undendlich geht als der Nenner, solltest du eher auf den Gedanken verfallen, daß die Folge divergent ist.

Schreibe bei (a):

Jetzt kannst du das leicht nach unten abschätzen und hast eine divergente Minorante.
pedda Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Tip!
Ich hoffe ich habe es richtig verstanden

Zu (a): Die untere Grenze müsste 8 sein (für n=1) und die Folge ist (wie gesagt) divergent.

Was ist eine Minorante?

Ich habe mich auch an die anderen gemacht, schreibe mal meine Lösungen und hoffe darauf, dass sie stimmen, oder zumindest der Ansatz der Richtige ist.

(b)

Die Folge konvergiert gegen -3

(c) Es wurde noch der Hinweis gegeben, dass es sich um eine geometrische Summe handelt:



Für :

Die Folge konvergiert gegen 2.

Für :

Die Folge konvergiert gegen unendlich.

(d)

Die Folge konvergiert gegen 1.

Ich bin mir echt unsicher, habe das mehr oder weniger nach Bauchgefühl gemacht.
Schöne Grüße!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pedda
Was ist eine Minorante?

Das könnte man auch googeln. Eine Folge (b_n) ist Minorante der Folge (a_n), wenn ist für alle n aus N.

Zitat:
Original von pedda
(b)

Es sollte dir klar sein, daß das falsch ist.

Zitat:
Original von pedda
(d)

Die Folge konvergiert gegen 1.

Autsch. Da solltest du mal ein paar Folgenglieder ausrechnen. Die müßten ja alle gleich 1 sein.
pedda Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pedda
(b)

Es sollte dir klar sein, daß das falsch ist.

Ich dachte mir, wenn n gegen unendlich geht werden die jeweiligen nenner unendlich groß also geht der dazugehörige Bruch gegen 0.
Aber ich verstehe auch warum es falsch ist. Weiß trotzdem nicht wie ich es machen muss.

Zitat:
Original von pedda
(d)

Die Folge konvergiert gegen 1.

Autsch. Da solltest du mal ein paar Folgenglieder ausrechnen. Die müßten ja alle gleich 1 sein.[/quote]
Ja ich habe was durcheinander gebracht. Ich weiß nicht wie ich die Aufgabe löse.
pedda Auf diesen Beitrag antworten »

also (d) scheint wohl gegen 0 zu konvergieren, aber wie mache ich die nötige umformung?

Und bei (b) weiß ich echt nicht was ich jetzt machen muss. War denn die Umformung bis dahin richtig/sinnvoll?

Will mir ja nicht schon wieder ein autsch einfangen...
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

zu b: du kannst nicht einfach den Folgenterm mit seinem Grenzwert gleichsetzen. Würdest du schreiben, wäre die Welt in Ordnung.

zu d: erweitere mit
pedda Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!
Dann war (b) ja doch garnicht SO falsch. Habe es mir ja so gedacht, aber nicht so hingeschrieben. Kann man also, wenn man das so hinschreibt, sagen, dass der grenzwert -3 ist!?

Zu (d), Ich komme nicht auf die Lösung:



Ist es bis dahin richtig mit dem Erweitern? Und wie geht es weiter? kann ich einfach quadrieren? Ich habe es einfach mal probiert und bin auf das Ergebnis -2n gekommen.
Daraus schließe ich dass ich es nicht machen kann.
Wäre für weitere Hilfe sehr dankbar, schöne Grüße!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pedda
Habe es mir ja so gedacht, aber nicht so hingeschrieben. Kann man also, wenn man das so hinschreibt, sagen, dass der grenzwert -3 ist!?

Es zählt immer das, was da steht. In Gedanken steht bei mir vor der Tür auch ein Ferrari, aber wenn ich nachschaue, ist da nur Luft. smile
Und ja, der Grenzwert ist -3.

Zitat:
Original von pedda


Bis da ist es noch richtig. Was du dann im Zähler veranstaltet hast, ist mir nicht zugänglich.
pedda Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das habe ich falsch gemacht.
Nochmal durchgerechnet bin ich auf folgendes gekommen:



Daraus folgt, dass ist.
So würde es für mich persönlich Sinn ergebensmile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Und so ist es auch richtig. Freude
pedda Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön, danke!!!
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