in R konvergente Filter auf M [Topologie]

18.05.2010, 15:38

nore

in R konvergente Filter auf M [Topologie]

Hi,

mir ist mal wieder etwas auf Gottfried Köthes "Topologische lineare Räume" unklar:

Dort steht: Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eines topologischen Raumes $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist genau dann abgeschlossen, wenn sie die Limites aller in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ konvergenten Filter auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthält.

Soweit sogut. Aber: Sei ein Filter $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ (Ich nehme an, das heißt $\begin{eqnarray*} F_\alpha\subseteq M \forall F_\alpha\in F \end{eqnarray*}$ .) konvergent in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ .
Das heißt $\begin{eqnarray*} \exists x_0 \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathfrak{U}(x_0) \subseteq F \end{eqnarray*}$ .
Denn die Konvergenzbedingung für einen Filter war ja, dass er feiner ist als der Umgebungsfilter, den ich hier mit $\begin{eqnarray*} \mathfrak{U}(x_0) \end{eqnarray*}$ bezeichnet habe.
Dann ist $\begin{eqnarray*} x_0\in U \subseteq M \forall U \in \mathfrak{U}(x_0) \end{eqnarray*}$ .

Oder anders gesagt: Wenn alle Filterelemente Teilmengen von M sind, sind alle Umgebungen Teilmengen von M und diese enthalten x_0 natürlich als Element und somit ist x_0 Element von M.

Und da bemerke ich einen Denkfehler bei mir:

Wären alle Umgebungen von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ Teilmengen von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , dann müsste auch $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ Teilmenge von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sein und somit $\begin{eqnarray*} M=R \end{eqnarray*}$ . So ist es aber mit Sicherheit nicht gemeint.

Ist vielleicht mit der obigen Formulierung, dass F ein Filter auf M ist und in R konvergiert, gemeint, dass der von F erzeugte Filter auf R konvergiert? Das würde glaube ich Sinn machen. Oder was meint ihr?

Ich freue mich auf Antworten. :-)

Gruß
David

18.05.2010, 17:37

Abakus

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RE: in R konvergente Filter auf M [Topologie]

Zitat:

Original von nore
Dort steht: Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eines topologischen Raumes $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist genau dann abgeschlossen, wenn sie die Limites aller in $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ konvergenten Filter auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthält.

Hallo!

Eher so wie unten, oder?

Eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eines topologischen Raumes $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ist genau dann abgeschlossen, wenn für jeden konvergenten Filter $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M \in F \end{eqnarray*}$ alle Limites in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegen.

Grüße Abakus smile

18.05.2010, 19:53

nore

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So wird ein rundes Ding draus. Dankeschön! :-)

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