Extremwertaufgabe

18.05.2010, 16:33

keinmathegenie

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Extremwertaufgabe

Meine Frage:
Hallo Zusammen,

ich bräuchte da mal Hilfe (oder vielleicht auch nur einen Denkanstoß) ... Ich soll folgende Aufgabe bearbeiten:

Die Summer zweier natürlichen Zahlen beträgt 90. Wie groß müssen die beiden Zahlen sein, damit das Produkt aus der ersten Zahl und dem Quadrat aus der zweiten Zahl möglichst groß wird.

Meine Ideen:
Soo, ich habe mir nun folgendes überlegt:

1. Es wird x und y gesucht
2. Es wird ein Hochpunkt gesucht
3. X + Y = 90 (weil die Summe zweier n. Zahlen beträgt 90)
4. X * Y2 = Hochpunkt

Nun weiß ich aber nicht wie ich weiter rechnern soll, oder ob das überhaupt stimmt, was ich mir da überlegt habe ... Kann mir vielleicht einer bitte, bitte, bitte weiterhelfen ??

Vielen Dank smile

smile

18.05.2010, 16:37

tigerbine

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RE: Extremwertaufgabe
Das ist eine Extremwertaufgabe mit Nebenbedingungen.

1. Wie lautet die Zielfunktion?

$\begin{eqnarray*} f(x,y) = x*y^2 \end{eqnarray*}$

2. Was ist mit ihr zu tun?

Sie muss maximiert werden

3. Wie lauten die Nebenbedingungen?

$\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+y = 90 \end{eqnarray*}$

Ich will mich nun nicht um die Definition von IN streiten. Ich schließe 0 aus und man mag sich überlegen, warum ich dies mit ruhigem Gewissen tun kann.

Step1:
Wie geht man nun vor, um die Lösung zu finden. Da die Nebenbedingungen leicht sind, nutzen wir dies um x durch y auszudrücken. Wie lautet dann f?

18.05.2010, 16:55

keinmathegenie

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Also, ich würde nun folgendes machen:

X = 90-Y (das nun einsetzen in meine Zielfunktion), dann hätte ich

f(y) = (90-y)*y2
f(y) = -y3 + 90y2

Mhmm ... könnte ich nun mit der Formel weiterarbeiten? D.h. Diese Null setzen, dann das Ergebnis in die 1. Ableitung und so würde ich den Hochpunkt bestimmen können? Oder bin ich da auf dem falschen Weg?

18.05.2010, 17:00

tigerbine

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Bitte verwende den Formeleditor. Nun haben wir die Ziefunktion eindimensional.

$\begin{eqnarray*} f(y) = -y^3 + 90y^2 \end{eqnarray*}$

Step 2
Es sind aber noch Nebenbedingungen da. Denn in welchem Intervall kann y nur liegen ?

nach der Antwort darauf geht es weiter ...

18.05.2010, 17:11

keinmathegenie

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Mhmm, gute Frage smile

smile

Naja, y muss positiv sein und über 1 (da wir die Aufgabe sagt, dass x und y natürliche Zahlen sind).

Aaah, jetzt habe ich den Formeleditor auch gefunden smile

smile

Sry

Hammer

18.05.2010, 17:14

tigerbine

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Aber du hast meine Frage nicht beantwortet. Lies nochmal

Zitat:

3. Wie lauten die Nebenbedingungen?

$\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+y = 90 \end{eqnarray*}$

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18.05.2010, 17:22

keinmathegenie

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Oh nein, jetzt gehts los - jetzt verstehe ich nur noch Bahnhof.
Ich dachte, dass wir nur diese beiden Nebenbedingungen haben, zum einem das x und y natürliche Zahlen sind und zusammen die Summe 90 haben. Eine weitere Nebenbedingung kann ich nicht finden verwirrt

verwirrt

18.05.2010, 17:25

tigerbine

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Du hörst nicht zu.

Zitat:

Es sind aber noch Nebenbedingungen da. Denn in welchem Intervall kann y nur liegen

Überlege nun mal, ob man x=-10, y=100 einsetzen darf....

18.05.2010, 17:28

keinmathegenie

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Mhmmm, um ehrlich zu sein - keine Ahnung.
Ich denke mal, dass die 90 noch eine Rolle spielt. Aber wie das nun umzusetzen ist ... unglücklich

unglücklich

18.05.2010, 17:32

tigerbine

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Hör zu, ich helfe dir hier gerne. Aber so rumgerate kann ich nicht wirklich ausstehen. Wenn du was nicht verstehst, stelle bitte konkrete Rückfragen. Das hier ist kein chat und ich möchte pro Antwort schon gerne einen Schritt weiter kommen.

Was sind natürliche Zahlen?

Kann wie im Beispiel angegeben x dann negativ sein?!

Wie groß dann daher y maximal werden?

Wie lautet also das Intervall, indem y maximal liegen kann?

so, also auf ein neues smile

smile

18.05.2010, 17:42

keinmathegenie

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Ich stehe auch nicht auf rumraten, aber wenn ich die Antwort nun mal nicht weiß, bzw. wenn ich die Frage nicht verstehe, kann ich nicht mehr viel machen. Und es liegt auch in meinem Interesse diese Aufgabe zu lösen.

Ich sagte bereits, dass x und y positiv sein müssen, denn nach meinen Erkenntnissen sind Natürlichen Zahlen 1,2,3,4,5, .....

Von daher liegt y irgendwo im positiven Bereich ... ich könnte mir vorstellen, dass 90 die Obergrenze für y ist, weil $\begin{eqnarray*} x+y=90 \end{eqnarray*}$ ist, wenn y=90 wäre, wäre x= 0.
Oder bekomme ich da nun etwas durcheinander?

18.05.2010, 17:47

tigerbine

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Zitat:

Original von keinmathegenie
Von daher liegt y irgendwo im positiven Bereich ... ich könnte mir vorstellen, dass 90 die Obergrenze für y ist, weil $\begin{eqnarray*} x+y=90 \end{eqnarray*}$ ist, wenn y=90 wäre, wäre x= 0.
Oder bekomme ich da nun etwas durcheinander?

Dem ist so. Da ich 0 ausgeschlossen hatte, von mir aus lass es als natürliche Zahl zu, wenn dir das dann leichter fällt. Aber es ist doch da wirklich keine Veranlassung gegeben unsicher zu werden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Damit haben wir

$\begin{eqnarray*} f(y) = -y^3 + 90y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \in ]0,90[ \end{eqnarray*}$ oder eben mit der zugelassenen 0, $\begin{eqnarray*} y \in [0,90] \end{eqnarray*}$

Schauen wir uns das einmal im Bild an.

Die "Bergspitze", math. ist das erst mal ein lokaler Extremwert, können wir - wie du schon gesagt hast (?) - über erste und zweite Ableitung bestimmen.

Step 3:

Wie lautet das lokale Maximum der Funktion f?

18.05.2010, 17:56

keinmathegenie

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Was ist genau mit dem lokalem Maxium der Funktion f gemeint? Ist damit der Hochpunkt gemeint?

18.05.2010, 17:57

tigerbine

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Ja.

18.05.2010, 18:09

keinmathegenie

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Ich habe nun folgendes gerechnet:

1. Ableitung Null setzen

$\begin{eqnarray*} -3y2+90=0 \end{eqnarray*}$

Da habe ich das Ergebnis $\begin{eqnarray*} -\sqrt{30} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} +\sqrt{30} \end{eqnarray*}$ herausbekommen.

Diese habe ich nun in die 2. Ableitung gesetzt, die $\begin{eqnarray*} -6y \end{eqnarray*}$ lautet.
Hier habe ich die Ergebnisse $\begin{eqnarray*} y=32,86 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=-32,86 \end{eqnarray*}$ herausbekommen, wobei das negative Ergebnis wegfällt, da dieses nicht im Definitionsbereich liegt. Somit ist das lokale Maximum der Funktion f $\begin{eqnarray*} y=32,86 \end{eqnarray*}$

18.05.2010, 18:14

tigerbine

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Der plot oben zeigt doch schon, dass dein Ergebnis nicht stimmen kann. Ferner, wie kommst du auf "laplace" ?. Es muss "l" oder "latex" heißen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schau auch meine Signatur an...

Die Ableitung ist schon falsch.

$\begin{eqnarray*} f(y) = -y^3 + 90y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(y) =? \end{eqnarray*}$

18.05.2010, 18:26

keinmathegenie

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laplace/latex ist doch alles das gleiche Big Laugh

Big Laugh

Habe meinen Fehler gefunden, habe mit $\begin{eqnarray*} f(y)=-y3+90y \end{eqnarray*}$ gerechnet.
Nun also nochmal:

1.Ableitung $\begin{eqnarray*} f(y)=-6y2+180y \end{eqnarray*}$

2.Ableitung $\begin{eqnarray*} f(y)= -12y+180 \end{eqnarray*}$

Bei der 1. Ableitung habe ich die Ergebnisse $\begin{eqnarray*} y=30 und y=0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich diese in die 2. Ableitung einsetze bekomme ich die Ergebnisse $\begin{eqnarray*} y=-180 und y=168 \end{eqnarray*}$

Nur sind diese Ergebnisse ja auch nicht im D.-Bereich. Sind meine Ableitungen noch immer falsch?

18.05.2010, 18:34

tigerbine

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Nutze dann latex doch bitte, um die Potenzen zu schreiben unglücklich

unglücklich

Und ja, die Ableitung ist immer noch falsch. Was ist hier so schwer an der Potenrzegel? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} f(y) = -y^3 + 90y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(y) = -3\cdot y^2 + 2\cdot 90y \end{eqnarray*}$

18.05.2010, 18:48

keinmathegenie

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Okay nochmal, ich weiß - ich mache unnötige Fehler (an den Ableitungen scheitert es sonst eigentlich nicht)

$\begin{eqnarray*} f(y)=y3-90y2 \end{eqnarray*}$

1. Ableitung
$\begin{eqnarray*} f(y)=3y2-180y \end{eqnarray*}$

2. Ableitung
$\begin{eqnarray*} f(y)=6y-180 \end{eqnarray*}$

habe ich nun richtig abgeleitet?

18.05.2010, 18:50

tigerbine

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Wenn du nur die Potenzen noch schön schreiben würdest....Und warum änderst du einfach die Vorzeichen...

$\begin{eqnarray*} f(y) = -y^3 + 90y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(y) = -3\cdot y^2 + 2\cdot 90y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(y) = -6\cdot y + 180 \end{eqnarray*}$

18.05.2010, 18:58

keinmathegenie

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Nun bekomme ich bei der 1. Ableitung $\begin{eqnarray*} y=30 und y=0 \end{eqnarray*}$ raus
Beim einsetzen in díe 2. Ableitung dann [l]y=180 und y=-180[/]

Was ja auch wieder nicht hinhaut. Tut mir echt leid, aber ich weiß gerade nicht was ich falsch mache. Vom Prinzip her muss ich doch die Ergebnisse der 1. Ableitung (die habe ich mit der pq-Formel ausgerechnet) in die 2. Ableitung setzen, oder?!

18.05.2010, 19:06

tigerbine

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Was du falsch machst? Du musst dich endlich mal konzentriert hinsetzen. Das sind alles so keine Fehler....

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(y) = -y^3 + 90y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(y) = -3\cdot y^2 + 2\cdot 90y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(y) = -6\cdot y + 180 \end{eqnarray*}$

Es muss (notwendig) gelten

$\begin{eqnarray*} 0= -3\cdot y^2 + 2\cdot 90y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= -3y\cdot(y - 2\cdot 30) \end{eqnarray*}$

Diese Lösungen in die zweite Ableitung einsetzen und prüfen, wo Maximum vorliegt.

18.05.2010, 19:17

keinmathegenie

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Ja, jetzt verstehe ich es auch endlich:

Der Hochpunkt liegt natürlich bei 60, denn wenn ich es in die 2. Ableitung einsetze bekomme ich -180 als Ergebnis. Dieses ist kleiner Null und somit ein Hochpunkt.

Nun ist es ja auch nicht mehr wirklich schwer um x zu berechnern. ich Setze also die 60 für y ein und stelle die Formel $\begin{eqnarray*} x+y=90 \end{eqnarray*}$ nach x um. Ergebnis: $\begin{eqnarray*} x=30 \end{eqnarray*}$

Diese Zahlen einsetzen in die Zielfunktion

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=30*3600 = 108000 \end{eqnarray*}$

Die Zahlen müssen also lauten x=30 und y=60.

Natürlich muss ich am Ende noch die Ränder betrachten, ob es auch wirklich der absolute Hochpunkt ist.

18.05.2010, 19:23

tigerbine

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Zitat:

Original von keinmathegenie
Natürlich muss ich am Ende noch die Ränder betrachten, ob es auch wirklich der absolute Hochpunkt ist.

Genau darauf kommt es bei Aufgaben mit Nebenbedingungen an. Dieses nicht zu vergessen. So kann man sicher sein, dass der lokale Extremwert (hier lokales Maximum) auch globales Maximum ist. Freude

Freude

18.05.2010, 19:26

keinmathegenie

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Puuuh ... dankeschön! Ich weiß, es war ne schwere Geburt, aber zumindest habe ich es verstanden smile

smile

Danke für deine Mühe!

18.05.2010, 19:27

tigerbine

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Bitte.

Wink

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