Termbestimmung

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xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »
Termbestimmung
Meine Frage:
Hallo, ich habe ein großes Problem mit dem Thema Termbestimmung. Die Aufgabenstellung lautet folgendermaßen: Bestimmen Sie die ganzrationale Funktion dritten Grades, deren Graph

a.) die x-Achse im Ursprung berührt und deren Tangente in P(-3/0) parallel zur Geraden y = 6x ist

b.) in P(1/4) einen Extrempunkt und in Q(0/2) einen Wendepunkt hat.


Ich verstehe sonst wenigstens etwas aber bei dieser Aufgabe bin ich komplett Überfordertunglücklich Bitte daher um eure Hilfe

Danke schonmal

Lg Dave smile

Meine Ideen:
Ich verstehe sonst wenigstens etwas aber bei dieser Aufgabe bin ich komplett Überfordertunglücklich Bitte daher um eure Hilfe

das einzige, womit ich anfangen würde wäre folgendes:7

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
f'(x) = 3ax^2+2bx+c

aber dann scheitere ich schonunglücklich
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie erstelle ich eine Termbestimmung?
Du musst eben die Bedingungen in die allgemeine Funktionsgleichung (die hast du ja schon) einsetzen.

Fangen wir zum Beispiel mit dem Berührpunkt an. Der Graph von f soll die x-Achse im Ursprung, also im Punkt (0|0), berühren. Versuch mal, das einzusetzen. Was ist denn ein Berührpunkt?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

1. f(0) = 0

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
f(0) = d

ahh ich verstehe es langsam..

Ein Berührpunkt ist doch ein Punkt zweier Kurven, die sich in einem gleichen Punkt berühren?

also müsste die 2. Bedingung sein ->

2. f'(0) = 0

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
f'(0) = c
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Kurven berühren sich in einem gemeinsamen Punkt, wenn sie in diesem Punkt die gleichen Tangenten (also die gleiche Steigung) haben. Nun verläuft die x-Achse aber horizontal und hat damit keine Steigung (also Steigung 0).

Bisher hast du alles richtig gemacht. Was ergib sich also für c und d?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

wie ich daraus erschließen kann ergibt sich für c,d = 0



"...und deren Tangente in P(-3/0) parallel zur Geraden y = 6x ist"

also das erste ist mir dann jetzt doch ganz klar ->

3. f(-3) = 0

nur jetzt weiß ich aber auch nich weiter
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

f(-3)=0 ist schon mal richtig.

Die Tangente in diesem Punkt des Graphen soll parallel zur Geraden y=6x sein. Wann sind denn zwei Geraden parallel?
 
 
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

hmm weiß nicht genau, hat das auch hier wieder was mit der 1.Ableitung (f') zu tun?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst mal solltest du dir nochmal in Erinnerung rufen, was es eigentlich heißt, eine Tangente an einen Punkt des Graphen zu legen. Wenn wir einen Punkt
( x|f(x) ) des Graphen hernehmen, dann muss man, wenn man eine Tangente an diesen Punkt legen will, eine Gerade aufstellen, die f eben in diesem Puntk berührt. Zum einen muss die Gerade den Graphen von f in diesem Punkt schneiden, zum anderen muss die Gerade in diesem Punkt aber auch die gleiche Steigung wie f haben. Also generell diese Steigung haben, denn Geraden haben bekanntermaßen überall die gleiche Steigung. Das zeichnet ja eine Gerade aus.

So, nun ist die Information gegeben, dass die Tangente, die man an den Punkt (-3|0) legt, parallel zur Geraden y=6x verläuft. Wann zwei Geraden parallel sind, solltest du eigentlich wissen.



Was muss gelten, damit diese beiden Geraden sich niemals schneiden (also parallel sind)?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Sie müssen die Gleiche Steigung haben ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Daraus solltest du nun ableiten können, welche Steigung f im Punkt (-3|0) haben muss.
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

hmm bin mir immer noch unsicher.. sie müssen beide dieselbe Steigung haben... ich weiß es wirklich nicht bzw bin unsicher gib mir bitte nur einen kleinen Tipp wie ich da vorgehen muss
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Was für eine Steigung hat denn die Gerade y=6x ? Und nun soll die Tangente, die f im Punkt (-3|0) berührt, parallel zur Geraden y=6x verlaufen, also die gleiche Steigung haben. Da diese Gerade f aber ja im Punkt (-3|0) berührt, hat auch f in diesem Punkt die gleiche Steigung wie die Gerade y=6x. Nämlich?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gerade hat die Steigung 6 -> y= mx +b -> y= 6x

also haben beide die Steigung 6
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Also?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

4. f'(-3) = 6
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

Jetzt kannst du die Funktionsgleichung aufstellen.
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich versuche jetzt mal zusammenzufassen smile

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
f'(x) = 3ax^2+bx+c

1. : f(0) = 0 d= 0
2. : f'(0) = 0 c= 0
3. : f(-3) = 0 -27a+9b-3c+d
4. : f'(-3) = 6 27a-6b+c

da c,d = 0

3. : -27a+9b = 0
4. : 27a-6b = 6

3+4 : 3b = 6 <=> b=2

wegen 4. :

27a-6b = 6 / 2 einsetzen
27a-12 / +12
27a = 18 / :27
a = 2/3

also...

f(x) = 2/3x^3+2x^2

Danke für deine Hilfe smile könnte ich jedoch zur Sicherheit, das ich es verstanden habe, die Aufgabe b.) mit dir zusammen bearbeiten?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht doch sehr gut aus. Freude



Zitat:
Original von xXDaveXx
[...] könnte ich jedoch zur Sicherheit, das ich es verstanden habe, die Aufgabe b.) mit dir zusammen bearbeiten?

Sicher, leg ruhig los. Vielleicht schaffst du sie ja nun auch schon alleine. smile
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, sehr freundlich smile erlebt man heute nicht mehr so oft. Freude

so jetzt zu b.)

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
f'(x) = 3ax^2+2bx+c

1. :f(1) = 4
2. :f'(1)= 0
3. :f(0) = 2
4. ?
1. a+b+ c d = 4
2. 3a+2b+c = 0
3. d = 2
4. ?

ich brauche jetzt nur noch einmal Hilfe wie ich auf die 4. Bedingung kommesmile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Na, du weißt doch, dass Q(0|2) ein Wendepunkt ist. Was ist denn die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt? Stichwort zweite Ableitung.
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhhhh stimmt... ich leider an dem Flüchtigkeitsunkonzentrationssyndrom Big Laugh Big Laugh

dann isses klar

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
f'(x) = 3ax^2+2bx+c
f''(x) = 6ax+2b

1. :f(1) = 4
2. :f'(1)= 0
3. :f(0) = 2
4. :f''(0)=0


1. a+b+ c d = 4
2. 3a+2b+c = 0
3. d = 2
4. 2b = 0

4. : 2b = 0
b = 0

jetzt muss ich nur noch i wie c herausfinden smile und ich glaube das die erste Bedingung dafür nich schlecht geeignet wäre, da b und d ja bekannt sind ->

1. a+b+c+d = 4 b= 0, d= 2

1. a+c+2 = 4
1. a+c = 2

aber was nun?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast die zweite Bedingung jetzt noch nicht verwendet.
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

1. a+c+2 = 4
1. a+c = 2

2. : 3a+c = 0

ok jetzt habe ich beide bedingungen. Wie geht es nun weiter?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wie man lineare Gleichungssysteme eben löst...

Du nimmst eine der beiden Gleichungen her und löst diese nach a oder c auf. Das dann in die andere Gleichung einsetzen.

Genau das hast du doch in a) auch schon gemacht.
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

bei a.) hab ich das verstanden, da musste ich ja nur die 3. mit der 4. Bedingung addieren und dann war alles klar aber wie mache ich das hier genau?. Wenn ich jetzt die 1. Bedingung nehme dann sieht das ja folgendermaßen auf ->

2. 3a+c = 0
<=> c = -3a

ahhhhhhhhhhhhh jetzt verstehe ich Big Laugh geschockt

1. a-3a = 2
-2a = 2 / : (-2)
a = -1

also ist c = -3(-1)
c = 3

smile soo nun nochmal alles geordnet ->

f(x) = ax^3+bx^2+cx+d
f'(x) = 3ax^2+2bx+c
f''(x) = 6ax+2b

1. :f(1) = 4
2. :f'(1)= 0
3. :f(0) = 2
4. :f''(0)=0


1. a+b+ c d = 4
2. 3a+2b+c = 0
3. d = 2
4. 2b = 0

4. : 2b = 0
b = 0

1. a+c = 2
2. 3a+c = 0

2. 3a+c = 0
<=> c= -3a

1. a+c = 2
<=> a-3a = 2
a = -1

c= -3(-1)
c= 3


Funktionsgleichung: -x^3+3x+2
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Und das ist völlig richtig. smile

xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Oksmile danke für deine überaus freundliche und geduldige Hilfe smile smile Freude
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt brauch ich doch noch einmal deine Hilfe unglücklich


f(0) = 0
f(1) =-1
f(2) = 0
f'(2) = 0

1.) d = 0
2.) a+b+c+d = -1
3.) 8a+4b+2c+d = 0
4.) 12a+4b+c = 0

die anderen beiden Aufgaben habe ich verstanden, aber bei dieser komme ich schon wieder nich weiter unglücklich
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist grundsätzlich immer sinnvoll, den originalen Aufgabenlaut wiederzugeben. Es wäre natürlich ärgerlich, wenn man sich jetzt mit bereits falschen Zwischenergebnissen weiter abquält. Ist hier schon zuhauf vorgekommen und ist für beide Seiten Zeitverschwendung. Mach das also bitte noch nachträglich!

Aber wenn wir davon ausgehen, dass bis hierhin alles stimmt: Es geht wohl wieder um eine ganzrationale Funktion dritten Grades, ja? Dann machst du genau so weiter, wie schon in den beiden Aufgaben zuvor. Warum verschließt du dich immer davor?

Erst mal kannst du ja überall das d rausschmeißen, auch aus den Bedingungen 2) und 3). Und dann wieder das gleiche Schema: Eine Bedingung nehmen, nach einer Variablen auflösen und in eine andere einsetzen. Wieder auflösen, wieder einsetzen. Das ist simples lineares Gleichungssystem.
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

f(0) = 0
f(1) =-1
f(2) = 0
f'(2) = 0

1.) d = 0
2.) a+b+c+d = -1
3.) 8a+4b+2c+d = 0
4.) 12a+4b+c = 0

2.) a+b+c =-1
3.) 8a+4b+2c = 0 / : 2
<=> 4a+2b+c = 0
4.) 12a+4b+c = 0

3-2 = 3a+b = 1 <=> b= 1-3a -> 5.)b= 1-3a
4-2 = 11a+3b = 1 -> 6.) 11a+3b = 1

5 in 6:
11a+3(1-3a) = 1
<=> 11a+3-9a = 1
<=> 2a = -2
<=> a = -1

wegen 5.) -> b= 1-3a
<=> b= 1-3(-a)
<=> b= 4

wegen 2.) -> c = -1-a-b
<=> c = -1+1-4
<=> c = -4

also f(x)= -1x^3+4x^2-4x
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid deine Hilfe schon wieder in Anspruch zu nehmen... ich brauche noch eine einzige letzte Hilfe...

http://www.bilder-upload.eu/show.php?file=FAYIxjgv8knWZ1o.jpg

1. f(-2) = 0
2. f(-1) = 2
3. f( 0) = 0
4. f( 1) = 0

ist diese Reihenfolge richtig? oder muss was daran geändert werden? und muss man noch etwas hinzufügen?
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

am besten auf 50% stellen, dann kann man das Bild besser erkennen
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Weißt du, es ist schon etwas unhöflich, erstmal meine Bitte, die Aufgabenstellung reinzustellen, zu ignorieren und mir dann gleich danach nochmal so ein Ding reinzuknallen. Man hätte ja wenigstens mal dazu sagen können, dass es um Aufgabe 2 gehen soll. Warum muss ich mich da erst durchwühlen? unglücklich

Bei der Aufgabe vorger ging es wohl um 2b, ja? Die ist dann okay.

Zur 2a: Deine Bedingungen sind alle richtig. Das hast du jetzt auch wohl raus. In welcher Reihenfolge du die aufstellst, ist doch völlig egal, das ist dir überlassen. Da gibt es keine Reihenfolge. Auch in der Abarbeitung der Bedinungen ist man in der Wahl seiner Reihenfolge ja relativ frei (obwohl es da natürlich geschickte und ungeschickte Vorgehensweisen gibt).

Allgemein gilt: Bei der Suche nach einer ganzrationalen Funktion n-ten Grades braucht man genau n+1 Bedingungen. Es können natürlich auch weniger sein, wenn Bedingungen gegeben sind, die gleich mehrere Koeffizienten auf einma klären/rausschmeißen. Darunter fallen zum Beispiel die Berührpunkte oder auch diverse Symmetrien.
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Oh das tut mir leid unglücklich es stimmt ich hätte es angeben müssen. Bin etwas nervös, da ich mir eig sicher war alles verstanden zu haben bis das kam. Ja es handelt sich um Aufgabe 2a.) "Geben Sie zu dem angegebenen Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades den Funktionsterm an" Nagut jetzt hätte ich es mir sparen können, stand ja auch auf dem Bild. Tut mir nochmals Leidunglücklich Gott

ax^3+bx^2+cx+d

1. f(-2) = 0
2. f(-1) = 2
3. f( 0) = 0
4. f( 1) = 0

1. -8a+4b-2c+d = 0
2. -3a+b-c+d = 0
3. d = 0
4. 3a+b+c+d = 0

ist das bis hier hin richtig?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie erstelle ich eine Termbestimmung?
Bis hierhin stimmt alles noch, ja. Da ist ja auch noch nichts weiter passiert, außer dass du einfach eingesetzt hast. Soweit darfst du aber mittlerweile wohl auf deine Fähigkeiten vertrauen. Augenzwinkern

Aber auch hier gilt: Wenn du aus einer Bedingung herauslesen kannst, dass z.B. d=0 ist, dann schmeiß es auch sofort aus allen anderen Bedingungen raus. Das macht es für dich gleich übersichtlicher.

Das Forum (bzw. der Server) ist ziemlich instabil heute...
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

ax^3+bx^2+cx+d

1. f(-2) = 0
2. f(-1) = 2
3. f( 0) = 0
4. f( 1) = 0

1. -8a+4b-2c = 0
2. -3a+b-c = 2
3. d = 0
4. 3a+b+c = 0

1. -8a+4b-2c = 0 / : 2
<=> -4a+2b-c = 0

jetzt wirds mir unübersichtlich... ich geh mal auf Risiko Big Laugh

1-2. -> a+b = -2 -> b = -a-2 -> 5.)


oh man , ich bin völlig verwirrtunglücklich
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht... heute scheint der Server wirklich instabil zu sein
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie erstelle ich eine Termbestimmung?
Du tust dich immer wieder aufs Neue schwer bei Dingen, die du heute eigentlich schon mehrere Mal korrekt angewendet hast.
Zitat:
Original von xXDaveXx
-4a+2b-c = 0


Lös das doch zum Beispiel mal nach c auf. Dann ergibt sich



Das kannst du dann in die nächste Bedingung einsetzen. Das c ist dann aus dieser Gleichung verschwunden. Dort löst du dann analog nach a oder b auf und setzt auch das wieder in die nächste Bedingung ein. Das ist nur noch stumpfsinniges Rechnen ohne überlegen.

Edit: Entschuldige, ich sehe erst jetzt, dass da auch noch zwei Fehler drinstecken in deinen Bedingungen.

f(1) = 0 liefert a+b+c = 0

und

f(-1)=2 liefert -a+b-c=2

Tut mir leid, da habe ich nicht richtig hingesehen.
xXDaveXx Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem, du hast mir heute schon so viel geholfen, da kannst du ruhig mal fehler machen, mach ich ja auch und zwar öfterBig Laugh trz steh ich auf dem Schlauch, hab ne Blokadeunglücklich
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt: Einfach stur rechnen.

1. -8a+4b-2c = 0
2. -a+b-c = 2
4. a+b+c = 0

4. hernehmen (womit man anfängt, ist wie gesagt egal):



Eingesetzt in 2.



Und weiter.
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