Ableitung über Umkehrfunktion finden

18.05.2010, 18:56	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung über Umkehrfunktion finden Hallo, weiß bei folgender Aufgabe nicht weiter: Berechnen Sie für: $\begin{eqnarray} f: [0,\pi ]-->\mathbb R : x--> cos^3 (x) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{d}{dy} f^{-1}(y) \|_{y=f(x_0)} \end{eqnarray}$ mit Hilfe der Formel: $\begin{eqnarray} sin(x)=\sqrt{1-cos²(x)} \end{eqnarray}$ . Also die Ableitung der Umkehrfunktion kann ich ja über folgende Regel bestimmen: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dy} f^{-1}(y) \|_{y=f(x_0)} = \frac{1}{f^{'}(x_0)} \end{eqnarray}$ Mein Ansatz also: $\begin{eqnarray} \frac{d}{dy} f^{-1}(y)= \frac{1}{-3sin(x)cos²(x)} \end{eqnarray}$ Nur weiß ich nun nicht weiter, fertig bin ich ja noch nicht, jetzt muss ich ja glaub ich überall das x ersetzen oder?Weil die Funktion soll ja von y-abhängig sein und nicht von x. Laut Aufgabe ist ja: $\begin{eqnarray} y=cos^3(x) \end{eqnarray}$ Daraus wäre x dann: $\begin{eqnarray} x=arccos(\sqrt[3]{y} ) \end{eqnarray}$ Muss ich das nun überall für x einsetzen? Bevor ich total falsch liege, höre ich hier lieber mal auf und sag Danke Gruß Physinetz
18.05.2010, 19:04	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung über Umkehrfunktion finden Ja, ist richtig. Im Nenner muss der sinus durch die angegebene Wurzel ersetzt werden und beide x durch arccos...
18.05.2010, 21:58	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann käme ich auf: $\begin{eqnarray} f^{'}(x)=\frac{1}{-3\sqrt{1-y^\frac{2}{3} }y^\frac{2}{3} } \end{eqnarray}$ Wenn mein einsetzen stimmt? im Prinzip ja schon.., aber irgendwie sieht das sehr merkwürdig aus, hab ich mich vertan? $\begin{eqnarray} cos(arccos(y^{\frac{1}{3}} )² = y^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ und das eben eingesetzt... Gruß und danke fürs checken
18.05.2010, 22:01	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
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18.05.2010, 22:03	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Es stimmt. (Das Minus vor der 3 schreibt man üblicherweise vor den Bruchstrich.) Aber: $\begin{eqnarray} f^{-1} \left(y\right) = ... \end{eqnarray}$ , nicht f'(x).

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