Abbildungen von Mengen |
29.10.2006, 21:02 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Abbildungen von Mengen Aufgabe : Seien Abbildungen von Mengen, so dass bijektiv ist. Zeigen Sie das, f injektiv und g surjektiv ist. Ich mein ich weiß was surjektiv und injektiv ist aber wie man überhaupt soetwas zeigt ist mir absolut schleierhaft |
||||
29.10.2006, 21:21 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eigentlich musst du nur die Definitionen anwenden ist surjektiv, d.h. zu jedem gibt es ein , sodass . Außerdem ist injektiv, d.h. . Jetzt nimm an, f sei nicht injetiv, d.h. es gibt mit . Du kannst direkt einen Widerspruch zur Bijektivität von konstruieren. |
||||
29.10.2006, 21:27 | daTidu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Um die Injektivität von f zu zeigen hätte ich eine Idee, man könnte dies mit einem Widerspruchsbeweis machen: sollte f nicht injektiv sein, dann gäbe es ein a aus X, das den gleichen Funtionswert hätte wie ein b aus x: wobei a ungleich b ist also müsste dann auch gelten: Dies darf aber nicht sein, da die Verknüpfung bijektiv sein soll. Also muss f injektiv sein -> Teil 1 wäre gezeigt (Rückmeldung ist erwünscht, denke aber, dass das so geht) Wie man die Surjektivität von g zeigt will mir aber leider nicht einfallen. mfG daTidu edit: da war wohl jemand schneller komm mit dem Formeleditor nicht so klar^^ |
||||
29.10.2006, 22:02 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ergibt sich direkt aus der Definition. Es gibt zu jedem ein mit und zu jedem ein . Wenn du jetzt schreibst, steht die Definition der Surjektivität da. |
||||
29.10.2006, 22:23 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
re Also so ganz durchschau ich das leider nicht.... Ich probier das mal richtig aufzuschreiben... Also : 1. ist injektiv 2 ist surjektiv Beweis zu 1. UNMÖGLICH Da = Bijektiv f = injektiv Beweis zu 2. Hier hab ich es noch nicht verstanden. Ist der erste Teil denn so richtig ? |
||||
29.10.2006, 23:01 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Als Widerspruchsbeweis solltest du das so schreiben: "Angenommen, es gibt mit (also angenommen, f ist nicht injektiv), dann folgt aus , dass , was im Widerspruch zur Injektivität von steht. Also ist f injektiv." Zum zweiten, mal dir das am besten mal auf: Zu jedem x aus X gibt es genau ein f(x) aus Y. Zu jedem z aus Z gibt es mindestens ein x aus X und damit mindestens ein y=f(x) aus Y mit g(f(x))=g(y)=z. |
||||
Anzeige | ||||
|
||||
30.10.2006, 17:31 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
re Du hast ja geschrieben : Als Widerspruchsbeweis solltest du das so schreiben: "Angenommen, es gibt mit (also angenommen, f ist nicht injektiv), dann folgt aus , dass , was im Widerspruch zur Injektivität von steht. Also ist f injektiv." Zum zweiten, mal dir das am besten mal auf: Zu jedem x aus X gibt es genau ein f(x) aus Y. Zu jedem z aus Z gibt es mindestens ein x aus X und damit mindestens ein y=f(x) aus Y mit g(f(x))=g(y)=z. Muss ich nicht schreiben : , was im Widerspruch zur Bijektivität von steht. Also ist f injektiv." ? |
||||
30.10.2006, 17:56 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn du "Injektivität" schreibst, bist du genauer. Im Winderspruch zur Surjektivität steht das nämlich nicht und wenn du "Bijektivität" schreibst, ist unklar, worin genau der Widerspruch besteht. |
||||
30.10.2006, 18:05 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
re Alles klaro =) Und hier ein Beweisversuch für surjektivität : Angenommen g nicht surjektiv -> gf nicht bijektiv Wir nehmen an es gibt ein zu dem es kein gibt, so dass g(y) = z. Folglich findet man auch kein , dass von f auf y abgebildet wird, das dann von g auf Z abgebildet wird. Dann ist nicht surjektiv und damit auch nicht bijektiv. |
||||
30.10.2006, 18:22 | sqrt(2) | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So kannst du es machen. |
||||
30.10.2006, 18:37 | SilverBullet | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
re Alles klaro vielen Dank |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
Die Neuesten » |
|