Schätzer ausrechnen

18.05.2010, 20:52	coke	Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzer ausrechnen Hallo! Ich habe eine Stochastik-Aufgabe gekriegt, die für mich ziemlich schwierig ist. Sie lautet: "Sie kennen ein Gebäude, dessen Türe sich regelmäßig alle a Minuten öffnet, wobei a eine natürliche Zahl sei, die 1440 teilt. An m Tagen gehen Sie zu irgendeinem Zeitpunkt zu diesem Gebäude und schreiben die Minuten Y1,...Yn (Zufallsvariablen!) auf, wie lange Sie warten mussten, bis die Türe sich öffnete. Beweisen Sie dass K:=1+2*(Y1+...+Yn)/n ein erwartungstreuer Schätzer für a ist." Also ich muss jetzt sozusagen P(K)=p beweisen, aber da diese Verteilung der Zufallsvariablen sehr merkwürdig ist, weiß ich nicht was p ist. Das heisst also im Klartext: Ich komm überhaupt nicht weiter ... Bitte helft mir! Gruß, coke
18.05.2010, 21:58	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schätzer ausrechnen Die Behauptung gilt nur, wenn die angebrochenen Minuten strikt abgerundet werden. Man wartet dann Y = 0 oder 1 oder 2 oder ... oder a-1 Minuten bei gleichverteilter W'keit, also P(Y=k) = 1/a. Der Erwartungswert ist somit E(Y) = 1/a* a(a-1)/2. Er wird seinerseits erwartungstreu geschätzt durch das Stichprobenmittel (Y1+Y2+...+Yn)/n.
18.05.2010, 23:06	coke	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Erklärung, wisili. Was ich nicht verstehe: Warum ist denn E(Y) = 1/a* a(a-1)/2 ? Der Erwartungswert ergibt sich doch, indem man jeden Wert, den eine Zufallsvariable annehmen kann, mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit multipliziert - und davon die Summe bildet über alle Elemente der Zufallsvariable. Woher kommt also speziell dieser Faktor a(a-1)/2 ? Um nachzuprüfen dass der Schätzer T erwartungstreu ist, muss ich den Erwartungswert von T bilden und beweisen, dass E(T) = 1/a ist, oder? Viele Grüße, coke
18.05.2010, 23:35	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Erwartungswert ist definiert als die Summe der Produkte von W'keit und Zufallsvariablenwert, also E(Y) = 1/a* (0 + 1 + 2 + ... + (a-1)). Die Summe alleine ist (mit dem Trick des jungen Gauss) a(a-1)/2.
19.05.2010, 00:11	coke	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal. Die Sache mit dem Erwartungswert ist mir jetzt klar. Aber ich muss ja überprüfen, dass K:=1+2*(Y1+...+Yn)/n ein erwartungstreuer Schätzer ist. Also muss ich den Erwartungswert von K bilden? Und herauskommen müsste die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit, also 1/a ?
19.05.2010, 00:23	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, herauskommen soll a: E(K) = 1 + 2 (E(Y)+E(Y)+ ... + E(Y))/n, mit n Summanden E(Y) = 1/a*a(a-1)/2.
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19.05.2010, 11:24	coke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Jetzt ist alles klar. Vielen Dank nochmals. Du hast mir sehr geholfen.

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