Nachweis eines Erzeugendensystems

18.05.2010, 21:25

bamiga

Nachweis eines Erzeugendensystems

Meine Frage:
Hi @ all!

Die Aufgabe bezieht sich auf den Raum aller Polynome vom Grad 3 ( $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ [x,3]).

Aus diesem Raum habe ich eine Menge von 5 einzelnen Polynomen gegeben. Gefragt ist, ob diese 5 Polynome ein Erzeugendensystem für $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ [x,3] bilden.

Meine Ideen:
Meine erste Idee war, eine andere Basis für $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ [x,3] zu nehmen (am besten $\begin{eqnarray*} (x^{3},x^{2},x^{1},x^{0}) \end{eqnarray*}$ . Für jeden einzelnen (neuen) Basisvektor wollte ich versuche, ihn durch die gegebenen Vektoren darzustellen.

Das Ganze artet aber in eine Unmenge von Einzelrechnungen aus.

Da gibt es doch sicherlich einen deutlich einfacheren (und eleganteren!) Weg - nur, ich habe im Moment keinen Ansatz.....

Herzlichen Dank für die Hilfe im Voraus.

Peter

18.05.2010, 21:27

Iorek

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Wie sollen wir dir etwas darüber sagen, wenn du noch nichtmal die Polynome angibst? unglücklich

18.05.2010, 22:03

bamiga

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Aber gerne (hatte erst nur auf einen ganz allgemeinen Hinweis spekuliert) :

Untersuchen Sie, ob

$\begin{eqnarray*} D=\left\{x^{3}-2x^{2}+1, 3x^{2}+x+4, 2x^{2}-x, x^{3}+3x^{2}+5, x^{2}+2x+4\right\} \subset \mathbb Q[x,3] \end{eqnarray*}$

ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x,3] \end{eqnarray*}$ bildet.

Peter

18.05.2010, 22:13

Iorek

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Ok, dann stellen wir uns erstmal die Frage, ob es überhaupt ein Erzeugendensystem sein kann; danach könntest du mal auf lineare Abhängigkeiten achten, da gibt es eine schön einfache die man sehen kann.

18.05.2010, 22:47

kiste

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RE: Nachweis eines Erzeugendensystems

Zitat:

Original von bamiga
Raum aller Polynome vom Grad 3

So wie du es geschrieben hast ist das aber kein Vektorraum!

Deine Frage reduziert sich übrigens darauf ein lineares Gleichungssystem zu lösen

19.05.2010, 08:38

bamiga

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RE: Nachweis eines Erzeugendensystems
Hallo zusammen,

viele Fragen......

1) Ob es ein Erzeugendensystem sein kann? Ja, genau diese Frage stelle ich mir ja.....

2) Lineare Abhängigkeiten sehe ich beim Draufschauen so nicht (aber ich habe eh' das Gefühl, bei dieser Aufgabe etwas blind zu sein...)

3) Nein, kein Vektorraum, ein Raum von Polynomen (aller P. vom Grad 3)

Meine gestrigen Überlegungen waren bisher wie folgt :

a) Ich schreibe D als $\begin{eqnarray*} \left\{d1,d2,d3,d4,d5\right\} \end{eqnarray*}$

b) In Bezug auf eine (neue) Basis dieses Polynomraums

B= $\begin{eqnarray*} \left\{b1,b2,b3,b4\right\} \end{eqnarray*}$ mit B= $\begin{eqnarray*} \left\{x^{3},x^{2},x^{1},x^{0}\right\} \end{eqnarray*}$ kann ich die Elemente von D schreiben als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \\ d_4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
So wäre dann D = $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

c) Ab hier war dann meine Überlegung, jeweils eine der fünf Komponenten d1..d5 wegzulassen und zu versuchen, als Linearkombination der verbleibenden vier nacheinander alle vier Elemente der Basis B dazustellen.

Also im ersten Fall : $\begin{eqnarray*} \alpha * d1 + \beta * d2 + \gamma * d3 + \lambda *d4 = b1 \end{eqnarray*}$

Gelingt mir das, so ist bilden die vier verwendeten d's ebenfalls eine Basis und d1..d5 bildet ein Erzeugendensystem. Gelingt mir das nicht, so ist d1..d5 noch nicht mal ein Erzeugendensystem.

Nur.... das sind dann halt insgesamt 20 Gleichungssystem mit je vier Unbekannten. Das meinte ich gestern mit meiner Frage nach einem eleganteren Weg.... den ich leider nach wie vor nicht sehe.... Würden mir bei D zwei lineare Abhängigkeiten auffallen, wäre die Aufgabe ja auch schon gelöst .... Hammer

Peter

19.05.2010, 08:59

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Zitat:

Original von bamiga
3) Nein, kein Vektorraum, ein Raum von Polynomen (aller P. vom Grad 3)

Ich denke, du hast die Anmerkung von kiste nicht so verstanden, wie er sie gemeint hat:

Anscheinend betrachtest du den Vektorraum aller Polynome vom Grad <3, also nicht nur genau =3.

Lineare Abhängigkeiten innerhalb der Menge sind übrigens kein Problem, falls die Anzahl der Vektoren die Vektorraumdimension übersteigt. Ausschlaggebend ist lediglich, ob die zugehörige 4x5-Matrix den Maximalrang 4 aufweist.

19.05.2010, 09:21

Iorek

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RE: Nachweis eines Erzeugendensystems

Zitat:

Original von bamiga

1) Ob es ein Erzeugendensystem sein kann? Ja, genau diese Frage stelle ich mir ja.....

Das war eigentlich mehr als triviale Frage gemeint, welche Dimension hat dein Vektorraum, wieviel Elemente hat dein mögl. Erzeugendensystem? Und mit Hinblick auf die Definition der Dimension eines Vektorraums, erübrigt sich dann auch die Frage, ob es lineare Abhängigkeiten gibt.

Die kann man entweder direkt sehen, oder aber wie kiste/Arthur vorschlagen über ein LGS bestimmen.

19.05.2010, 11:05

bamiga

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ausschlaggebend ist lediglich, ob die zugehörige 4x5-Matrix den Maximalrang 4 aufweist.

Das war der Hinweis, den ich gebracht hatte. Klar !!! Gott

Vielen Dank für Eure Geduld!

Peter

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