Harmonische Funktion

19.05.2010, 13:00

energyfull

Harmonische Funktion

Hallo an alle, ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weiter komme.

Ich habe Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1,...f_4:\mathbb R ^2->\mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_1=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2=x^2-y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_3=x^3-3xy^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_4=x^4-6x^2y^2+y^4 \end{eqnarray*}$

ich muss jetzt zeigen das diese Funktionen, harmonische Funktionen sind.
ich habe mir die Definition für harmonische funktionen angeschaut, jedoch nicht ein Beispiel gefunden wo ich das verstehe. Kann mir bitte einer anhand einer Funktion erklären wie man das macht. Ich wäre sehr dankbar.

19.05.2010, 15:28

gonnabphd

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Leite z.B. mal die zweite Funktion zwei mal partiell nach x ab und dann zwei mal partiell nach y. Danach addierst du diese beiden partiellen Ableitungen und schaust, ob die Summe immer Null ergibt.

Das ist auch schon alles.

20.05.2010, 20:23

energyfull

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also ich gehe mal an $\begin{eqnarray*} f_2=x²-y² \end{eqnarray*}$ ran
wenn ich 2 mal partiell nach x ableite kommt da raus:
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} =2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx²} =x \end{eqnarray*}$

und nach y:
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} =-2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy²} =-y \end{eqnarray*}$

ist es richtig so?

das mit dem "addierst du diese partiellen Ableitungen" verstehe ich nicht ganz genau, was ich addieren soll und wie dann da null rauskommt.

kann mir jemand das nochmal erklären

20.05.2010, 20:34

gonnabphd

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} =2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx²} =x \end{eqnarray*}$
und nach y: $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} =-2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy²} =-y \end{eqnarray*}$

Die ersten partiellen Ableitungen sind beide korrekt, aber die zweiten sind falsch. Was ist

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial (2x)}{\partial x}, \frac{\partial (-2y)}{\partial y} \end{eqnarray*}$

?! Also mal sicher nicht x bzw. -y ...

Und addieren sollst du sie, weil eine Funktion f harmonisch ist (per Definitionem), wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \Delta f(x,y) = \frac{\partial^2f}{(\partial x)^2} + \frac{\partial^2f}{(\partial y)^2} = 0 \end{eqnarray*}$

20.05.2010, 21:58

energyfull

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Ich glaube jetzt habe ich es:

1.Partielle Ableitung:
$\begin{eqnarray*} f_x=2x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_y=-2y \end{eqnarray*}$

dementsprechen die 2.partielle ableitung:
$\begin{eqnarray*} f_{x^2}=2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{y^2}=-2 \end{eqnarray*}$

Harmonische Funktion:

2+(-2)=0

ist es so richtig?

20.05.2010, 22:07

gonnabphd

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Ja das ist die Idee. Freude

20.05.2010, 22:58

energyfull

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so ich habe das mal auch mit den anderen funktionen versucht und würde mich freuen wenn du mal drauf schaust und mir vielleicht sagen kannst ob es richtig ist.

also zu $\begin{eqnarray*} f_1=x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx}=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy}=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx²}=0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy²}=0 \end{eqnarray*}$

0+0=0

zu $\begin{eqnarray*} f_3=x³-3xy² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx}=3x²-3y² \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy}=3x2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx²}=6x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy²}=-6x \end{eqnarray*}$

6x+(-6x)=0

zu $\begin{eqnarray*} f_4=x^4-6x²y²+y^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx}=4x³-12xy² \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy}=-6x²2y+4y^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx²}=12x²-12y² \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy²}=-12x²+12y² \end{eqnarray*}$

dann:
12x²-12y²-12x²+12y²=0

21.05.2010, 00:46

gonnabphd

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Wenns so gut zusammenstimmt, kanns doch fast nicht falsch sein Augenzwinkern

Alles korrekt. Freude

21.05.2010, 15:15

energyfull

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Danke dir.Partielle Ableitung und Harmonische funktion verstehe ich jetzt besser.

Aber was ich nicht verstehe ist noch warum, $\begin{eqnarray*} f_k(x,y)=Re((x+iy)^k) \end{eqnarray*}$ eine Verallgemeinerung der Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1,..f_4 \end{eqnarray*}$ sind. Was hat das denn damit zu tun.

21.05.2010, 15:51

gonnabphd

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Die Funktionen sind eben genau die Realteile von $\begin{eqnarray*} (x+iy)^k \end{eqnarray*}$ .

Falls du holomorphe Funktionen kennst, dann ist das schonmal so ne Andeutung, dass die Real- und Imaginärteile von holomorphen Funktionen stets harmonisch sind, und man zu jeder reellen harmonischen Funktion (z.B. auf dem Einheitskreis) eine holomorphe Funktion finden kann, sodass die harmonische Funktion mit dem Realteil der holomorphen Funktion übereinstimmt. Dazu benutzt man den Poisson Kern.

Aber das ist jetzt vielleicht ein wenig weit ausgeholt.

Wink

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