Repunit Zahlen zur beliebigen Basis

19.05.2010, 13:29	topo	Auf diesen Beitrag antworten »
Repunit Zahlen zur beliebigen Basis Hi Ich hab Repunit $\begin{eqnarray} r_{n} \end{eqnarray}$ Zahlen zur beliebigen Basis $\begin{eqnarray} g\geq2 \end{eqnarray}$ und die Aussage ist $\begin{eqnarray} r_{n} \end{eqnarray}$ eine Primzahl, dann ist auch n eine Primzahl bereits gezeigt doch scheitere ich im Moment noch an der Umkehrung also ist n eine Primzahl, dann ist auch $\begin{eqnarray} r_{n} \end{eqnarray}$ eine Primzahl dass dies nicht im allgemeinem gilt, ist klar (z.B. n=3, g=10, aber $\begin{eqnarray} r_{3}=111=3k37 \end{eqnarray*}$ ist keine Primzahl die Frage ist nun, wie ich die Aussage für allgemeine g wiederlegen kann für ein einzelnes g geht dies leicht über ein Gegenbeispiel, aber wie macht man es für alle g ein allgemeines Gegenbeispiel kann ich leider nicht finden ich bedanke mich für ideen und ansätze Michael
20.05.2010, 20:14	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
So, da wir es mittlerweile hinbekommen haben (dämliches Brett vorm Kopf, die Lösung ist völlig offensichtlich) hier der Beweis, dass für beliebige Basis $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ die Umkehrung obiger Aussage falsch ist. Sei $\begin{eqnarray} g \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} p \in \mathbb{P} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p \mid (g-1) \end{eqnarray}$ . Dann gilt für $\begin{eqnarray} a \in \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ beliebig: $\begin{eqnarray} p \mid a \Leftrightarrow p \mid Q_g(a) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} Q_g(a) \end{eqnarray}$ die Quersumme von a zur Basis g bezeichne. Betrachten wir nun die p-te Repunitzahl zur Basis g, so hat diese g-Quersumme p und ist somit durch p teilbar. Da außerdem p<g< p-te Repunitzahl ist diese also nicht prim. Edit: Den Fall g=2 zeigt man separat. Hier ist $\begin{eqnarray} 2^{11} \end{eqnarray}$ ein Gegenbeispiel (um genau zu sein das erste).

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