Beweis (kl. Fermat in abelscher Gruppe)

19.05.2010, 15:14	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis (kl. Fermat in abelscher Gruppe) Hallo, ich habe hier eine kurze Nachfrage, ich habe eine Vorlesung versäumt und arbeite mich gerade durch das Skript, und dabei stoße ich auf eine Unklarheit. Den kleinen fermat'schen Satz hat der Prof so aufgeschrieben: Sei G eine endliche Gruppe mit multiplikativ geschriebener Verknüpfung und dem neutralen Element 1. Sei n die Anzahl der Elemente von G (die "Ordnung"). Dann gilt für alle a aus G: $\begin{eqnarray} a^n = 1 \end{eqnarray}$ Jetzt steht da ein Beweis im Falle einer abelschen Gruppe mit einem festen a aus G: $\begin{eqnarray} \gamma := \prod_{b \in G} b = \prod_{b \in G} a(a^{-1}b ) = a^n \prod_{b \in G} a^{-1} b = a^n \gamma \end{eqnarray}$ Multiplikation mit gamma^(-1) liefert da ja die Behauptung. Nur - was ist mit dem a^{-1} passiert? Da ja auch a^(-1) in G liegt, ist ja auch (a^(-1))^n =1, aber das kann hier doch nicht verwendet worden sein, gerade das war doch zu zeigen. Welchen Schritt übersehe ich hier denn?
19.05.2010, 15:22	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ alle Elemente der Gruppe durchläuft, tut dies auch $\begin{eqnarray} a^{-1}b \end{eqnarray}$ .
19.05.2010, 16:56	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, logisch. Vielen Dank! Dazu noch eine weitere Frage: In einem Polynomring K[t] über einem endichen Körper K mit genau q Elementen soll folgendes gelten: $\begin{eqnarray} t^{q-1}-1 = \prod_{\alpha \in K^} (t-\alpha) \end{eqnarray}$ K ist hierbei die Teilmenge von K, für die ein multiplikativ Inverses in K existiert. Ich habe beide Richtungen mal probiert, komme aber irgendwie auf keinen grünen Zweig. Von "links nach rechts" hatte ich probiert (erstmal nach Fermat): $\begin{eqnarray} t^{q-1}-1 = t^{q-1} - \alpha^{q-1} \end{eqnarray}$ Denn da K ein Körper ist, müsste doch K=K\{0} sein und daher K die Ordnung (q-1) haben, oder? Nun wäre da allenfalls über die dritte binomische Formel was zu machen, aber das wird irgendwie ungemütlich. Geht es andersrum einfacher? Da hatte ich probiert, erstmal ein $\begin{eqnarray} \alpha \cdot \alpha^{-1} \end{eqnarray}$ dran zu multiplizieren und alpha^(-1) in die Klammer zu ziehen. Aber auch da hänge ich dann sehr schnell fest. Was führt zum Ziel?
19.05.2010, 18:28	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \forall \alpha \in K^ : \alpha^{q-1}=1 \end{eqnarray}$ , weil $\begin{eqnarray} q-1=ord(K^)\Rightarrow \forall \alpha \in K^ : \alpha \end{eqnarray}$ ist Nullstelle des Polynoms $\begin{eqnarray} t^{q-1}-1 \in K[t] \Rightarrow \forall \alpha \in K^* : (t-\alpha)\|(t^{q-1}-1) \end{eqnarray}$ . Mehr als q-1 Nullstellen kann das Polynom auch nicht haben, weil keine Elemente mehr übrig sind. Und wenn du das Produkt bildest, ist die höchste Potenz offensichtlich $\begin{eqnarray} t^{q-1} \end{eqnarray}$ . Genauso offensichtlich ist das Produkt aller $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray*}$ gleich 1 .
19.05.2010, 20:28	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis (kl. Fermat in abelscher Gruppe) Die Nullstellen... natürlich, und ich krebse da rum mit meinen Umformungen. Danke, so ist es klar.

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