Verschoben! Anwendungsaufgabe Kurvendiskussion

19.05.2010, 17:31	verwirrte	Auf diesen Beitrag antworten »
Anwendungsaufgabe Kurvendiskussion Meine Frage: Aufgabe: Beim Bau von Straßen, Bahngleisen oder Achterbahnen wird bei der Berechnung der Linienführung immer drauf geachtet, dass Richtungswechsel möglichst kräftearm verlaufen, um eine ruckfreie Fahrdynamik zu erreichen. Hierbei reicht es nicht, dass beim Übergang von z.B. Geraden zu Kurven und umgekehrt die Steigungen identisch sind, d.h. keine "Knicke" auftreten. Damit sich auch die Richtungsänderung nicht abrupt ändert, ist zudem zu dordern, dass auch die Krümmungen der Linien in den Übergangspunkten übereinstimmen. Als Beispiel hierzu sollen zwei gerade Straßenenden durch eine Kurve verbunden werden. Die Straßenenden seien gegeben durch die Geraden y=2 für x kleiner/gleich 0 und y=-2x+9 für x>4. a) Zeigen sie, dass die Kurve 1, beschrieben durch den Graphen der Funktion f1(x)= - 3/32 x³ + 5/16 x² + 2 für 0 </= (kleiner gleich) x </= 4 , an den Anschlussstellen zwar keinen Knick aufweist, die Krümmung sich aber abrupt ändert, Skizzieren sie die Graphen mit einem Funktionsplotter. b) Untersuchen sie die Tauglichkeit der Kurvenverläufe 2 und 3 an den Anschlussstellen noch obigen Kriterien, wenn sie beschrieben werden durch die Graphen fer Funktionen f2(x)= - 5/256 x^4 + 1/16 x³ + 2 und f3(x) = 9/512 x^5 - 41/256 x^4 + 11/32 x³ + 2. Meine Ideen: zu a) Beweis für keinen knick wäre die Steigung der Funktion auszurechnen an den Stellen x=0 und x=4 also f'(0)= 0 stimmt mit der Steigung von y=2 überein und f'(4)= - 2 stimmt mit der Steigung von y= - 2x +9 überein aber mein Problem ist, wie kann ich beweisen, dass eine Krümmungsänderung an den Anschlussstellen vorliegt? denn für mich hat eine Gerade keine Krümmung, also wie soll ich die Aufgabe verstehen? und bei der b) müsste ich von beiden Funktionen wieder die Steigung an den Stellen bestimmen & dann hätte ich auch wieder das Problem mit der Krümmungsänderung...
19.05.2010, 18:14	Calculator	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendungsaufgabe Kurvendiskussion Hallo Verwirrte, ich hoffe mal, dass ich Deine Verwirrung beseitigen kann! Eine Gerade hat, wie Du selbst sagst, keine Krümmung, für den Mathematiker heißt das aber die Krümmung Null. Wenn nun die zweite Ableitung einer Funktion an der Anschlussstelle auch den Wert Null hat, dann hat diese Funktion dort auch die Krümmung Null. Versuch mal mit dieser Information die Aufgaben rechnerisch zu lösen. lg
19.05.2010, 18:21	verwirrte	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendungsaufgabe Kurvendiskussion achso okay. also die 2. Ableitung f "(x)= - 9/16 x + 5/8 f"(0) = 5/8 also eine unterschiedliche Krümmung an der Stelle x=0 f"(4) = - 1 5/8 also auch eine unterschiedliche Krümmung an der Stelle x=4 reicht das für Aufgabe a, oder muss ich noch etwas ausrechnen? und wäre das dann bei b dasselbe? Also erst wieder die beiden Stellen jweils in die 1. Ableitung einsetzen für die Steigung und dann in die 2. Ableitung für die Krümmung, umzu überprüfen ob diese gleich sind wie die von den Geraden? lg
19.05.2010, 18:27	Calculator	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendungsaufgabe Kurvendiskussion a) hast Du jetzt vollständig gelöst bis auf den geforderten Plot, bei b) mach das bitte ebenso.
19.05.2010, 18:50	verwirrte	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendungsaufgabe Kurvendiskussion okay, danke (: bei der b) f2 ' (x) = - 5/64 x³ + 3/16 x² +2 f2 " (x) = - 15/64 x² + 3/8 x f ' (0)= 2 f ' (4)= 0 f" (0)= 0 f" (4)= - 2 1/4 f3 ' (x)= 45/512 x^4 - 41/64 x³ + 33/32 x² f3 "(x)= 45/128 - 123/64 x² + 2 1/16 x f ' (0)= 0 f'(4)= -2 f " (0)= 0 f"(4)= 0 also würde ich daraus schließen, dass nur Kurvenverlauf 3 tauglich ist.
19.05.2010, 19:09	Calculator	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendungsaufgabe Kurvendiskussion sag einmal, kann es sein, dass der letzte Summand von f2 nicht "2" sondern "2x" ist? Wenn ja, stimmen alle Deine Werte. Deine Schlussfolgerung ist auch ok - Aufagbe vollständig gelöst! Schönen Abend noch lg
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19.05.2010, 19:21	verwirrte	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Anwendungsaufgabe Kurvendiskussion ah ja stimmt, da ist mir ein Fehler unterlaufen, die 2 dürfte da gar nicht mehr stehen... dann wären die Steigungen zwar gleich mit denen von den Geraden, aber die Krümmung bleibt ja trotzdem gleich. danke für den Hinweis (: lg

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