Aufgabe l'Hospital

19.05.2010, 17:33

Physinetz

Aufgabe l'Hospital

Hallo,
hänge an folgender Aufgabe iwie:

Berechnen Sie mit l'Hospital folgende Grenzwerte:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\frac{1}{x*sin(x) }- \frac{1}{x²} ) \end{eqnarray*}$

Nun umgeformt mit Hauptnennerbildung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\frac{1}{x*sin(x) }- \frac{1}{x²} )= \lim_{x \to 0} \frac{x²-x*sin(x)}{x³*sin(x)} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist die Regel von l'Hospital anwendbar:

Einmal abgeleitet ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{2x-sin(x)-x*cos(x)}{3x²*sin(x)+x³*cos(x)} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich ja immer noch "Null geteil durch Null", wenn ich nun nochmals ableite komm ich wieder auf "Null durch Null", und so geht das grad weiter...

Hab ich irgendwo einen Fehler drin? Stehe da gerade auf dem Schlauch verwirrt

Danke fürs überprüfen , und Grüßlis Physinetz

19.05.2010, 17:41

Airblader

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Dass du den Hauptnenner genommen hast ist ja erstmal eine glatte Lüge.
Und wenn du den wirklichen Hauptnenner nimmst, dann ist der Term erstmal viel freundlicher! Augenzwinkern

An und für sich musst du einfach noch ein bisschen mehr ableiten. Es geht eben nicht einfach immer so weiter.

air

19.05.2010, 17:53

Physinetz

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Ok den Hauptnenner habe ich nicht genommen, stimmt! Aber ich kanns ja im Prinzip trotzdem so machen oder?
Oh man total unnötig das viele Ableiten^^

Wäre das bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{tan(3x)}{tan(x)} \end{eqnarray*}$ auch der Fall? Bin grad mit der zweiten Ableitung fertig und ja ziemlich ätzend...

Unser Prof. meinte nur, nach der zweiten Ableitung sollte man aufhören und sich gedanken machen obs nicht einfach geht, aber hier sollen wir das mit l'Hospital machen, also reine Schikane?^^

19.05.2010, 18:06

Airblader

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Manchmal hilft auch Nachdenken. Wenn du den ("korrekten", d.h. einfacheren) Zähler x - sin(x) am Anfang hast, dann kann man noch im Kopf darauf kommen, dass erst die dritte Ableitung im Zähler nicht mehr verschwinden wird.
(Das heißt nicht, dass 3 Mal Ableiten notwendig ist - der Nenner kann sich ja schon früher anders verhalten, ist aber ein gutes Indiz)

Edit: Und tatsächlich musst du hier auch drei Mal ableiten, dann hast du es.

Zu der Tangens-Aufgabe: Wieso zweite Ableitung? Du brauchst hier lediglich einmal abzuleiten.

air

19.05.2010, 18:23

Physinetz

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Wie leite ich denn $\begin{eqnarray*} tan(3x) \end{eqnarray*}$ am besten ab?

Es gilt: $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} tan(x)= \frac{1}{cos²(x)} \end{eqnarray*}$

Dann wäre ja: $\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dy} tan(3x)= \frac{3}{cos²(3x)} \end{eqnarray*}$

Also mit l'Hospital:

$\begin{eqnarray*} \frac{tan(3x)}{tan(x)} = \frac{3*cos²(x)}{cos²(3x)} \end{eqnarray*}$

Und wenn das gegen pi/2 strebt, wird doch Nenner und Zähler auf wieder Null?deshalb müsste ich ja nochmal ableiten?

19.05.2010, 18:26

Airblader

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Die Ableitung stimmt. Auch möglich ist $\begin{eqnarray*} (\tan x)' = 1+ \tan^2 x \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Und wenn das gegen pi/2 strebt,

Was strebt gegen pi/2? Also bei mir ist cos(0) = 1.

air

19.05.2010, 19:28

Physinetz

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Oh hab nen Fehler gemacht, es soll alles gegen pi/2 streben und nicht gegen 0.
Dann brauch ich doch aufjedenfall noch die 3. Ableitung?

Danke für deine Hilfe mal wieder , Top!

19.05.2010, 20:26

Airblader

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Wenn du die Voraussetzungen für l'Hospital wieder gegeben hast, dann ja .. halt nochmal. In der Hoffnung, dass es irgendwann klappt. Augenzwinkern

Im Übrigen ist diese Schreibweise sehr schlecht. Um nicht zu sagen: Falsch.

Zitat:

Original von Physinetz
$\begin{eqnarray*} \frac{tan(3x)}{tan(x)} = \frac{3*cos²(x)}{cos²(3x)} \end{eqnarray*}$

air

19.05.2010, 23:34

rudiraz

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x*\sin(x) }- \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin(x)}{x^2*\sin(x) } \end{eqnarray*}$ l'hosptial
$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos(x)}{2x\sin(x)+x^2*\cos(x) } \end{eqnarray*}$ l'hosptial
$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{2\sin(x)+2x\cos(x)+2x\cos(x)-x^2*\sin(x) } \end{eqnarray*}$ l'hospital
$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{2\cos(x)+4\cos(x)-2x\sin(x)-2x\sin(x)+x^2\cos(x) } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$ fertig

19.05.2010, 23:41

Airblader

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@ rudiraz

Was soll das? Hier sind Komplettlösungen nicht erwünscht - siehe Forenprinzip!

air

20.05.2010, 13:42

Mystic

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Zitat:

Original von Physinetz
Unser Prof. meinte nur, nach der zweiten Ableitung sollte man aufhören und sich gedanken machen obs nicht einfach geht, aber hier sollen wir das mit l'Hospital machen, also reine Schikane?^^

Naja, es gibt ja dann auch Ausdrücke, wie z.B.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac {x^{100!}}{e^x} \end{eqnarray*}$

da muss man den l'Hospital 100! mal anwenden, ohne dass dies wirklich Probleme macht... Big Laugh

Aber im Prinzip geb ich deinem Professor schon recht, und ich bin eigentlich sogar ein Verfechter der 0-maligen Anwendung von l'Hospital, wann immer dies möglich ist... Besipielsweise würde ich deinen obigen Grenzwert so ausrechnen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \pi/2} \frac {\tan(3x)}{\tan x} =\lim_{x \to 0} \frac {\tan(3(x+\pi/2))}{\tan(x+\pi/2)}=\lim_{x \to 0} \frac {\sin(3x+3 \pi/2)\cos(x+\pi/2)}{\cos(3x+3\pi/2)\sin(x+\pi/2)} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{x \to 0} \frac {(-\cos(3x))(-\sin x)}{\sin(3x)\cos x} =\lim_{x \to 0}\frac {\cos(3x)}{\cos x}\lim_{x \to 0}\frac {\sin(x)/x}{3 (\sin(3x)/(3x))}=\frac 13 \end{eqnarray*}$

Aber bevor mich hier der Bannstrahl wegen einer vollständigen Lösung trifft, beeile ich mich hinzuzufügen, dass die Aufgabe, wenn ich das richtig verstanden habe, ohnehin mit n-maliger Anwendung von l'Hospital mit $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}^{\ast} \end{eqnarray*}$ (=Menge der natürlichen Zahlen ohne 0) gelöst werden sollte, d.h., was ich geschrieben habe, dann im Grunde nur eine Anmerkung für "Feinschmecker" und Gleichgesinnte darstellt...

20.05.2010, 15:36

Physinetz

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Ok alles klaro, danke für die ausführliche Hilfe, vielleicht brauch ich die bei dem Thema nochmal, thx!

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